设f(χ)可导,且∫01[f(χ)+χ(χt)]dt=1,则f(χ)=_______.

admin2019-02-02  25

问题 设f(χ)可导,且∫01[f(χ)+χ(χt)]dt=1,则f(χ)=_______.

选项

答案e-χ

解析 由∫11[f(χ)+χf(χt)]dt=1得∫01f(χ)dt+∫01f(χt)d(χt)=1,
    整理得f(χ)+∫0χf(u)du=1,两边对χ求导得
    f′(χ)+f(χ)=0,解得f(χ)=Ce-χ,因为f(0)=1,所以C=1,故f(χ)=e-χ
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