设A是n阶实对称矩阵．证明： (1)存在实数c，使对一切x∈Rn，有｜xTAx｜≤cxTx． (2)若A正定，则对任意正整数k，Ak也是对称正定矩阵． (3)必可找到一个数a，使A+aE为对称正定矩阵．

admin2018-08-02 65

问题设A是n阶实对称矩阵．证明：
(1)存在实数c，使对一切x∈Rⁿ，有｜x^TAx｜≤cx^Tx．
(2)若A正定，则对任意正整数k，A^k也是对称正定矩阵．
(3)必可找到一个数a，使A+aE为对称正定矩阵．

选项

答案(1)设A的特征值为λ₁，λ₂，…，λ_n．令c=max{｜λ｜₁，｜λ｜₂，…，｜λ｜_n}，则存在正交变换x=Py．使x^TAx=[*]λ_iy_i²，且y^Ty=x^Tx，故｜x^TAx｜=[*]y_i²=cy^Ty=cx^Tx． (2)设A的特征值为λ₁，…，λ_n，则λ_i＞0(i=1，…，n)，于是，由A^k的特征值为λ₁^k，…，λ_n^k．它们全都大于0，可知A^k为正定矩阵． (3)因为(A+aE)^T=A+aE，所以A+aE对称．又若A的特征值为λ₁，…，λ_n，则A+aE的特征值为λ₁+a，…，λ_n+a．若取a=max{｜λ₁｜+1，…｜λ_n｜+1}，则λ_i+a≥｜λ_i｜+｜λ_i｜+1≥1，所以A+aE正定．

解析

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考研数学二

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