设A是n阶实对称矩阵．证明： (1)存在实数c，使对一切x∈Rn，有｜xTAx｜≤cxTx． (2)若A正定，则对任意正整数k，Ak也是对称正定矩阵． (3)必可找到一个数a，使A+aE为对称正定矩阵．

admin2018-08-02 61

问题设A是n阶实对称矩阵．证明：
(1)存在实数c，使对一切x∈Rⁿ，有｜x^TAx｜≤cx^Tx．
(2)若A正定，则对任意正整数k，A^k也是对称正定矩阵．
(3)必可找到一个数a，使A+aE为对称正定矩阵．

选项

答案(1)设A的特征值为λ₁，λ₂，…，λ_n．令c=max{｜λ｜₁，｜λ｜₂，…，｜λ｜_n}，则存在正交变换x=Py．使x^TAx=[*]λ_iy_i²，且y^Ty=x^Tx，故｜x^TAx｜=[*]y_i²=cy^Ty=cx^Tx． (2)设A的特征值为λ₁，…，λ_n，则λ_i＞0(i=1，…，n)，于是，由A^k的特征值为λ₁^k，…，λ_n^k．它们全都大于0，可知A^k为正定矩阵． (3)因为(A+aE)^T=A+aE，所以A+aE对称．又若A的特征值为λ₁，…，λ_n，则A+aE的特征值为λ₁+a，…，λ_n+a．若取a=max{｜λ₁｜+1，…｜λ_n｜+1}，则λ_i+a≥｜λ_i｜+｜λ_i｜+1≥1，所以A+aE正定．

解析

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考研数学二

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设A是n阶实对称矩阵．证明： (1)存在实数c，使对一切x∈Rn，有｜xTAx｜≤cxTx． (2)若A正定，则对任意正整数k，Ak也是对称正定矩阵． (3)必可找到一个数a，使A+aE为对称正定矩阵．

考研数学二

设x与y均大于0且x≠y，证明

(2007年试题，一)设向量组α1，α2，α3线性无关，则下列向量组线性相关的是()．

设ξ1＝为矩阵A＝的一个特征向量．(I)求常数a，b及ξ1所对应的特征值；(Ⅱ)矩阵A可否相似对角化?若A可对角化，对A进行相似对角化；若A不可对角化，说明理由．

设α，β为四维非零的正交向量，且A＝αβT，则A的线性无关的特征向量个数为()．

设矩阵A＝相似于矩阵B＝　(I)求a，b的值；　(II)求可逆矩阵P，使P－1AP为对角矩阵．

设矩阵A＝b＝若集合Ω＝{1，2}，则线性方程组Ax＝b有无穷多解的充分必要条件为

证明：对任意的x，y∈R且x≠y，有

设f(x)连续，证明：∫0x[∫0tf(u)du]dt=∫0xf(t)(x-t)dt．

当0＜x＜时，证明：＜sinx＜x．

函数f(x)=x3-3x+k只有一个零点，则k的范围为()．

患者，男，55岁。腹痛拒按，烦渴喜饮，大便秘结，潮热汗出，小便短黄，舌质红，苔黄腻，脉滑数。治法宜选用

在材料使用过程中，对部分小型及零星材料根据工程量计算出所需材料量，将其折算成费用，由作业者采用()控制。

系统风险又称为()。Ⅰ．可分散风险Ⅱ．不可分散风险Ⅲ．不可回避风险Ⅳ．可回避风险

2007年10月4日，韩国总统卢武铉与朝鲜领导人金正日举行了历史性会晤，签署了《北南关系发展与和平繁荣宣言》，其内容包括

设有二维数组A[0..9，0..19]，其每个元素占两个字节，数组按列优先顺序存储，第一个元素的存储地址为100，那么元素A[6,6]的存储地址为【】。

表单文件的扩展名是(　　)。

计算机病毒的危害表现为()。

A、OK,Iwill.B、Takecare.C、Thankyou.D、Let’sgo.A本题考查对Could引导的提出请求的一般疑问句的回答。对于此类问题的回答分为肯定和否定两种：肯定回答一般为Yes，ofcourse／Certainl

RainforestsDidyouknowtherearetwotypesofRainforest-thetemperateandthetropical?Tropicalrainforestsarefoundc

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