2. 考研
  3. 设A是n阶实对称矩阵．证明： (1)存在实数c，使对一切x∈Rn，有｜xTAx｜≤cxTx． (2)若A正定，则对任意正整数k，Ak也是对称正定矩阵． (3)必可找到一个数a，使A+aE为对称正定矩阵．

设A是n阶实对称矩阵．证明： (1)存在实数c，使对一切x∈Rn，有｜xTAx｜≤cxTx． (2)若A正定，则对任意正整数k，Ak也是对称正定矩阵． (3)必可找到一个数a，使A+aE为对称正定矩阵．

admin2018-08-02  79
问题 设A是n阶实对称矩阵．证明：
(1)存在实数c，使对一切x∈Rn，有｜xTAx｜≤cxTx．
(2)若A正定，则对任意正整数k，Ak也是对称正定矩阵．
(3)必可找到一个数a，使A+aE为对称正定矩阵．
选项
答案(1)设A的特征值为λ1，λ2，…，λn．令c=max{｜λ｜1，｜λ｜2，…，｜λ｜n}，则存在正交变换x=Py．使xTAx=[*]λiyi2，且yTy=xTx，故｜xTAx｜=[*]yi2=cyTy=cxTx． (2)设A的特征值为λ1，…，λn，则λi＞0(i=1，…，n)，于是，由Ak的特征值为λ1k，…，λnk．它们全都大于0，可知Ak为正定矩阵． (3)因为(A+aE)T=A+aE，所以A+aE对称．又若A的特征值为λ1，…，λn，则A+aE的特征值为λ1+a，…，λn+a．若取a=max{｜λ1｜+1，…｜λn｜+1}，则λi+a≥｜λi｜+｜λi｜+1≥1，所以A+aE正定．
解析
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考研数学二

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