设A是n阶实对称矩阵．证明： (1)存在实数c，使对一切x∈Rn，有｜xTAx｜≤cxTx． (2)若A正定，则对任意正整数k，Ak也是对称正定矩阵． (3)必可找到一个数a，使A+aE为对称正定矩阵．

admin2018-08-02 86

问题设A是n阶实对称矩阵．证明：
(1)存在实数c，使对一切x∈Rⁿ，有｜x^TAx｜≤cx^Tx．
(2)若A正定，则对任意正整数k，A^k也是对称正定矩阵．
(3)必可找到一个数a，使A+aE为对称正定矩阵．

选项

答案(1)设A的特征值为λ₁，λ₂，…，λ_n．令c=max{｜λ｜₁，｜λ｜₂，…，｜λ｜_n}，则存在正交变换x=Py．使x^TAx=[*]λ_iy_i²，且y^Ty=x^Tx，故｜x^TAx｜=[*]y_i²=cy^Ty=cx^Tx． (2)设A的特征值为λ₁，…，λ_n，则λ_i＞0(i=1，…，n)，于是，由A^k的特征值为λ₁^k，…，λ_n^k．它们全都大于0，可知A^k为正定矩阵． (3)因为(A+aE)^T=A+aE，所以A+aE对称．又若A的特征值为λ₁，…，λ_n，则A+aE的特征值为λ₁+a，…，λ_n+a．若取a=max{｜λ₁｜+1，…｜λ_n｜+1}，则λ_i+a≥｜λ_i｜+｜λ_i｜+1≥1，所以A+aE正定．

解析

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考研数学二

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设A是n阶实对称矩阵．证明： (1)存在实数c，使对一切x∈Rn，有｜xTAx｜≤cxTx． (2)若A正定，则对任意正整数k，Ak也是对称正定矩阵． (3)必可找到一个数a，使A+aE为对称正定矩阵．

考研数学二

设矩阵A＝相似于矩阵B＝　(I)求a，b的值；　(II)求可逆矩阵P，使P－1AP为对角矩阵．

设矩阵A＝且A3＝0(I)求a的值；　(Ⅱ)若矩阵X满足X—XA2一AX＋AXA2＝E，其中E为3阶单位矩阵，求X．

已知函数f(x)在区间[a，＋∞)上具有2阶导数，f(a)＝0，(x)＞0，(x)＞0，设b＞a，曲线y＝f(x)在点(b，f(b))处的切线与x轴的交点是(x0，0)，证明a＜x0＜b．

设f(x)在[0，3]上连续，在(0，3)内二阶可导，且2f(0)=∫02f(t)dt=f(2)+f(3)．证明：存在ξ∈(0，3)，使得f"(ξ)-2f’(ξ)=0．

设f(x)在[0，3]上连续，在(0，3)内二阶可导，且2f(0)=∫02f(t)dt=f(2)+f(3)．证明：ξ1，ξ2∈(0，3)，使得f’(ξ10)=f’(ξ2)=0．

证明：对任意的x，y∈R且x≠y，有

证明：若一个向量组中有一个部分向量组线性相关，则该向量组一定线性相关．

设f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且f(a)=f(b)=0，证明：存在η∈(a，b)，使得ηf’(η)+f(η)=0．

设n阶矩阵A满足(aE-A)(bE-A)=O且a≠b．证明：A可对角化．

设非负函数f(x)当x≥0时连续可微，且f(0)=1．由y=f(x)，x轴，y轴及过点(x，0)且垂直于x轴的直线围成的图形的面积与y=f(x)在[0，x]上弧的长度相等，求f(x)．

以下对汉字结构的分析说法不正确的一项是【】

受压局部溃疡深达深筋膜及肌层的压疮是

小儿肺炎合并心衰的诊断要点有

正常牙髓对温度刺激的耐受阈为

乳岩不常采用的治疗方法是

下列关于银行结算账户的说法中，正确的是（）。

2019年11月26日，习近平总书记在中央全面深化改革委员会第十一次会议上强调，党的十九届四中全会和党的（）历史逻辑一脉相承、理论逻辑相互支撑、实践逻辑环环相扣，目标指向一以贯之，重大部署接续递进。

Allpassengervesselsarerequiredbylawtomake______forpeoplewithphysicaldisabilities.

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