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η*是非齐次线性方程组Ax=b的一个解,ξ1…,ξn-r,是对应的齐次线性方程组的一个基础解系.证明: η*,η*+ξ1,…,η*+ξn-r线性无关.
η*是非齐次线性方程组Ax=b的一个解,ξ1…,ξn-r,是对应的齐次线性方程组的一个基础解系.证明: η*,η*+ξ1,…,η*+ξn-r线性无关.
admin
2016-03-05
30
问题
η
*
是非齐次线性方程组Ax=b的一个解,ξ
1
…,ξ
n-r
,是对应的齐次线性方程组的一个基础解系.证明:
η
*
,η
*
+ξ
1
,…,η
*
+ξ
n-r
线性无关.
选项
答案
假设η
*
,η
*
+ξ
1
…,η
*
+ξ
n-r
线性相关,则存在不全为零的数c
0
,c
1
…,c
n-r
使得下式成c
0
η
*
+c
1
(η
*
+ξ
1
)+…+c
n-r
(η
*
+ξ
n-r
)=0,即(c
0
+c
1
+…+c
n-r
)η
*
+c
1
ξ
1
+…+c
n-r
ξ
n-r
=0. (2) 用矩阵A左乘上式两边,得0=A[(c
0
+c
1
+…+c
n-r
)η
*
+c
1
ξ
1
+…+c
n-r
ξ
n-r
]=(c
0
+c
1
…+c
n-r
)Aη
*
+c
1
Aξ
1
+…+c
n-r
Aξ
n-r
,=(c
0
+c
1
…+c
n-r
)b,因为b≠0,故c
0
+c
1
+…+c
n-r
=0,代入(2)式,有c
1
ξ
1
+…+c
n-r
ξ
n-r
=0,ξ
1
,…,ξ
n-r
是对应的齐次线性方程组的一个基础解系,故ξ
1
,…,ξ
n-r
线性无关,因此c
1
=c
2
=…=c
n-r
=0,即得c
0
=0.与假设矛盾.综上,所给向量组η
*
,η
*
+ξ
1
,+…η
*
+ξ
n-r
线性无关.
解析
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0
考研数学二
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