η*是非齐次线性方程组Ax=b的一个解,ξ1…,ξn-r,是对应的齐次线性方程组的一个基础解系.证明: η*,η*+ξ1,…,η*+ξn-r线性无关.

admin2016-03-05  30

问题 η*是非齐次线性方程组Ax=b的一个解,ξ1…,ξn-r,是对应的齐次线性方程组的一个基础解系.证明:
η*,η*1,…,η*n-r线性无关.

选项

答案假设η*,η*1…,η*n-r线性相关,则存在不全为零的数c0,c1…,cn-r使得下式成c0η*+c1*1)+…+cn-r*n-r)=0,即(c0+c1+…+cn-r*+c1ξ1+…+cn-rξn-r=0. (2) 用矩阵A左乘上式两边,得0=A[(c0+c1+…+cn-r*+c1ξ1+…+cn-rξn-r]=(c0+c1…+cn-r)Aη*+c11+…+cn-rn-r,=(c0+c1…+cn-r)b,因为b≠0,故c0+c1+…+cn-r=0,代入(2)式,有c1ξ1+…+cn-rξn-r=0,ξ1,…,ξn-r是对应的齐次线性方程组的一个基础解系,故ξ1,…,ξn-r线性无关,因此c1=c2=…=cn-r=0,即得c0=0.与假设矛盾.综上,所给向量组η*,η*1,+…η*n-r线性无关.

解析
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