(2006年)已知非齐次线性方程组有3个线性无关的解． (1)证明方程组系数矩阵A的秩r(A)＝2； (2)求a，b的值及方程组的通解．

admin2021-01-19 87

问题 (2006年)已知非齐次线性方程组

有3个线性无关的解．
(1)证明方程组系数矩阵A的秩r(A)＝2；
(2)求a，b的值及方程组的通解．

选项

答案(1)设ξ₁，ξ₂，ξ₃是该方程组的3个线性无关的解，则由解的性质知α₁＝ξ₁－ξ₂，α₂＝ξ₁－ξ₃是对应齐次线性方程组Aχ＝0的两个解，且由 [α₁ α₂]＝[ξ₁ ξ₂ ξ₃][*] 及ξ₁，ξ₂，ξ₃线性无关，易知向量组α₁，α₂线性无关，故齐次线性方程组Aχ＝0的基础解系至少含2个向量，即4－r(A)≥2，得r(A)≤2，又显然有r(A)≥2(A中存在2阶非零子式[*]＝－1，或由A的前2行线性无关)，于是有r(A)＝2． (2)对增广矩阵[*]施行初等行变换： [*] 因r(A)＝2，故有 4－2a＝0．4a＋b－5＝0 由此解得a＝2，b＝－3．此时 [*] 由此可得方程组的用自由未知量表示的通解为 [*] 令χ₃＝k₁，χ₄＝k₂，则得用对应齐次线性方程组的基础解系表示的通解为 [*] 其中k₁，k₂为任意常数．

解析

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考研数学二

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(2006年)已知非齐次线性方程组有3个线性无关的解． (1)证明方程组系数矩阵A的秩r(A)＝2； (2)求a，b的值及方程组的通解．

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1

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