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(2006年)已知非齐次线性方程组有3个线性无关的解. (1)证明方程组系数矩阵A的秩r(A)=2; (2)求a,b的值及方程组的通解.
(2006年)已知非齐次线性方程组有3个线性无关的解. (1)证明方程组系数矩阵A的秩r(A)=2; (2)求a,b的值及方程组的通解.
admin
2021-01-19
52
问题
(2006年)已知非齐次线性方程组
有3个线性无关的解.
(1)证明方程组系数矩阵A的秩r(A)=2;
(2)求a,b的值及方程组的通解.
选项
答案
(1)设ξ
1
,ξ
2
,ξ
3
是该方程组的3个线性无关的解,则由解的性质知α
1
=ξ
1
-ξ
2
,α
2
=ξ
1
-ξ
3
是对应齐次线性方程组Aχ=0的两个解,且由 [α
1
α
2
]=[ξ
1
ξ
2
ξ
3
][*] 及ξ
1
,ξ
2
,ξ
3
线性无关,易知向量组α
1
,α
2
线性无关,故齐次线性方程组Aχ=0的基础解系至少含2个向量,即4-r(A)≥2,得r(A)≤2,又显然有r(A)≥2(A中存在2阶非零子式[*]=-1,或由A的前2行线性无关),于是有r(A)=2. (2)对增广矩阵[*]施行初等行变换: [*] 因r(A)=2,故有 4-2a=0.4a+b-5=0 由此解得a=2,b=-3.此时 [*] 由此可得方程组的用自由未知量表示的通解为 [*] 令χ
3
=k
1
,χ
4
=k
2
,则得用对应齐次线性方程组的基础解系表示的通解为 [*] 其中k
1
,k
2
为任意常数.
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/p584777K
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考研数学二
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