已知(X，Y)为一个二维随机变量，X1＝X＋2Y，X2＝X－2Y，(X1，X2)的概率密度为f(χ1，χ2)＝ (Ⅰ)分别求出X和Y的密度函数； (Ⅱ)求X和Y的相关系数，并由此写出(X，Y)的联合密度．

admin2020-04-22 16

问题已知(X，Y)为一个二维随机变量，X₁＝X＋2Y，X₂＝X－2Y，(X₁，X₂)的概率密度为f(χ₁，χ₂)＝

(Ⅰ)分别求出X和Y的密度函数；
(Ⅱ)求X和Y的相关系数，并由此写出(X，Y)的联合密度．

选项

答案(Ⅰ)由(X₁，X₂)的联合密度可知X₁与X₂相互独立，且 X₁～N(4，3)，X₂～N(2，1) 由正态分布的性质可知，X₁，X₂的线性组合仍服从正态分布，而由 X₁＝X＋2Y，X₂＝X－2Y 得[*] 根据期望和方差的性质有 [*] (Ⅱ)由X₁＝X＋2Y可知，DX₁＝DX＋4DY＋4cov(X，Y) [*] 由二维正态分布密度函数 [*]

解析

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考研数学一

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已知(X，Y)为一个二维随机变量，X1＝X＋2Y，X2＝X－2Y，(X1，X2)的概率密度为f(χ1，χ2)＝ (Ⅰ)分别求出X和Y的密度函数； (Ⅱ)求X和Y的相关系数，并由此写出(X，Y)的联合密度．

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