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  3. 三元二次型f＝XTAX经过正交变换化为标准形f＝y12＋y22－2y33，且A*＋2E的非零特 征值对应的特征向量为α1＝，求此二次型．

三元二次型f＝XTAX经过正交变换化为标准形f＝y12＋y22－2y33，且A*＋2E的非零特 征值对应的特征向量为α1＝，求此二次型．

admin2018-01-23  71
问题 三元二次型f＝XTAX经过正交变换化为标准形f＝y12＋y22－2y33，且A*＋2E的非零特
征值对应的特征向量为α1＝，求此二次型．
选项
答案因为f＝XTAX经过正交变换后的标准形为f＝y12＋y22－2yy32，所以矩阵A的特征值 为λ1＝λ2＝1，λ3＝－2．由｜A｜＝λ2λ2λ3＝－2得A*的特征值为 μ1＝μ2＝－2，μ3＝1， 从而A*＋2E的特征值为0，0，3，即α1为A*＋2E的属于特征值3的特征向量，故也为A的 属于特征值λ3＝－2的特征向量． 令A的属于特征值λ1＝λ2＝1的特征向量为α＝[*]因为A为实对称矩阵，所以有α1Tα＝0，即x1＋x3＝0故矩阵A的属于λ1＝λ2＝1的特征向量为 [*] 令P＝(α2，α3，α1)＝[*]，得 [*]，所求的二次型为 f＝XTAX＝[*]x12＋x22－[*]x32－3x1x3
解析
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考研数学三

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