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设p(x),q(x),f(x)均是x的已知连续函数,y1(x),y2(x),y3(x)是y’’+p(x)y’+q(x)y=f(x)的3个线性无关的解,C1,C2是两个任意常数,则该非齐次方程对应的齐次方程的通解是( )
设p(x),q(x),f(x)均是x的已知连续函数,y1(x),y2(x),y3(x)是y’’+p(x)y’+q(x)y=f(x)的3个线性无关的解,C1,C2是两个任意常数,则该非齐次方程对应的齐次方程的通解是( )
admin
2014-07-22
99
问题
设p(x),q(x),f(x)均是x的已知连续函数,y
1
(x),y
2
(x),y
3
(x)是y
’’
+p(x)y
’
+q(x)y=f(x)的3个线性无关的解,C
1
,C
2
是两个任意常数,则该非齐次方程对应的齐次方程的通解是( )
选项
A、C
1
y
1
+(C
2
一C
1
)y
2
+(1一C
2
)y
3
.
B、(C
1
一C
2
)y
1
+(C
2
—1)y
2
+(1一C
1
)y
3
.
C、(C
1
+C
2
)y
1
+(C
1
一C
2
)y
2
+(1一C
1
)y
3
.
D、C
1
y
1
+C
2
y
2
+(1一C
1
一C
2
)y
3
.
答案
B
解析
将B改写为C
1
(y
1
一y
3
)+C
2
(y
2
一y
1
)+(y
3
一y
2
),因为y
1
,y
2
,y
3
均是y
’’
+p(x)y
’
+q(x)y=f(x)的解,所以y
1
-y
3
,y
2
一y
1
是y
’’
+p(x)y
’
+q(x,y)=0的解,并且y
1
-y
3
.y
2
一y
1
线性无关,事实上,若它们线性相关,则存在k
1
与k
2
不全为零,使得k
1
(y
1
一y
3
)+k
2
(y
2
一y
1
)=0,即一k
1
y+k
3
,y
2
+(k
1
-k
2
)y
1
=0.由于题设y
1
,y
2
,y
3
线性无关,故k
1
=0,k
2
=0,k
1
-k
2
=0,与k
1
,k
2
不全为零矛盾.于是推知C
1
(y
3
一y
3
)+C
2
(y
2
一y
1
)为对应的齐次方程的通解,而y
3
一y
2
也是对应齐次方程的一个解,它包含于C
1
(y
1
-y
3
)+C
2
(y
2
-y
1
)之中,所以C
1
(y
1
一y
3
)+C
2
(y
2
一y
1
)+(y
3
一y
2
),即B也是该非齐方程对应的齐次方程的通解.故应选B.
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考研数学二
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