2. 考研
  3. 设p(x)，q(x)，f(x)均是x的已知连续函数，y1(x)，y2(x)，y3(x)是y’’+p(x)y’+q(x)y=f(x)的3个线性无关的解，C1，C2是两个任意常数，则该非齐次方程对应的齐次方程的通解是( )

设p(x)，q(x)，f(x)均是x的已知连续函数，y1(x)，y2(x)，y3(x)是y’’+p(x)y’+q(x)y=f(x)的3个线性无关的解，C1，C2是两个任意常数，则该非齐次方程对应的齐次方程的通解是( )

admin2014-07-22  68
问题 设p(x)，q(x)，f(x)均是x的已知连续函数，y1(x)，y2(x)，y3(x)是y’’+p(x)y’+q(x)y=f(x)的3个线性无关的解，C1，C2是两个任意常数，则该非齐次方程对应的齐次方程的通解是(    )
选项 A、C1y1+(C2一C1)y2+(1一C2)y3．
B、(C1一C2)y1+(C2—1)y2+(1一C1)y3．
C、(C1+C2)y1+(C1一C2)y2+(1一C1)y3．
D、C1y1+C2y2+(1一C1一C2)y3．
答案B
解析 将B改写为C1(y1一y3)+C2(y2一y1)+(y3一y2)，因为y1，y2，y3均是y’’+p(x)y’+q(x)y=f(x)的解，所以y1-y3，y2一y1是y’’+p(x)y’+q(x,y)=0的解，并且y1-y3．y2一y1线性无关，事实上，若它们线性相关，则存在k1与k2不全为零，使得k1(y1一y3)+k2(y2一y1)=0，即一k1y+k3，y2+(k1-k2)y1=0．由于题设y1，y2，y3线性无关，故k1=0，k2=0，k1－k2=0，与k1，k2不全为零矛盾．于是推知C1(y3一y3)+C2(y2一y1)为对应的齐次方程的通解，而y3一y2也是对应齐次方程的一个解，它包含于C1(y1-y3)+C2(y2-y1)之中，所以C1(y1一y3)+C2(y2一y1)+(y3一y2)，即B也是该非齐方程对应的齐次方程的通解．故应选B．
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考研数学二

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