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设p(x)，q(x)，f(x)均是x的已知连续函数，y1(x)，y2(x)，y3(x)是y’’+p(x)y’+q(x)y=f(x)的3个线性无关的解，C1，C2是两个任意常数，则该非齐次方程对应的齐次方程的通解是( )
设p(x)，q(x)，f(x)均是x的已知连续函数，y1(x)，y2(x)，y3(x)是y’’+p(x)y’+q(x)y=f(x)的3个线性无关的解，C1，C2是两个任意常数，则该非齐次方程对应的齐次方程的通解是( )
admin
2014-07-22
41
问题
设p(x)，q(x)，f(x)均是x的已知连续函数，y
1
(x)，y
2
(x)，y
3
(x)是y
’’
+p(x)y
’
+q(x)y=f(x)的3个线性无关的解，C
1
，C
2
是两个任意常数，则该非齐次方程对应的齐次方程的通解是( )
选项
A、C
1
y
1
+(C
2
一C
1
)y
2
+(1一C
2
)y
3
．
B、(C
1
一C
2
)y
1
+(C
2
—1)y
2
+(1一C
1
)y
3
．
C、(C
1
+C
2
)y
1
+(C
1
一C
2
)y
2
+(1一C
1
)y
3
．
D、C
1
y
1
+C
2
y
2
+(1一C
1
一C
2
)y
3
．
答案
B
解析
将B改写为C
1
(y
1
一y
3
)+C
2
(y
2
一y
1
)+(y
3
一y
2
)，因为y
1
，y
2
，y
3
均是y
’’
+p(x)y
’
+q(x)y=f(x)的解，所以y
1
-y
3
，y
2
一y
1
是y
’’
+p(x)y
’
+q(x,y)=0的解，并且y
1
-y
3
．y
2
一y
1
线性无关，事实上，若它们线性相关，则存在k
1
与k
2
不全为零，使得k
1
(y
1
一y
3
)+k
2
(y
2
一y
1
)=0，即一k
1
y+k
3
，y
2
+(k
1
-k
2
)y
1
=0．由于题设y
1
，y
2
，y
3
线性无关，故k
1
=0，k
2
=0，k
1
－k
2
=0，与k
1
，k
2
不全为零矛盾．于是推知C
1
(y
3
一y
3
)+C
2
(y
2
一y
1
)为对应的齐次方程的通解，而y
3
一y
2
也是对应齐次方程的一个解，它包含于C
1
(y
1
-y
3
)+C
2
(y
2
-y
1
)之中，所以C
1
(y
1
一y
3
)+C
2
(y
2
一y
1
)+(y
3
一y
2
)，即B也是该非齐方程对应的齐次方程的通解．故应选B．
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考研数学二
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