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  3. (2002年试题,九)已知4阶方阵A=(α1，α2，α3，α4)，α1，α2，α3，α4均为4维列向量，其中α2,α3,α4线性无关，α1=2α2一α3．如果β=α1+α2+α3+α4，求线性方程组Ax=β的通解

(2002年试题,九)已知4阶方阵A=(α1，α2，α3，α4)，α1，α2，α3，α4均为4维列向量，其中α2,α3,α4线性无关，α1=2α2一α3．如果β=α1+α2+α3+α4，求线性方程组Ax=β的通解

admin2013-12-27  54
问题 (2002年试题,九)已知4阶方阵A=(α1，α2，α3，α4)，α1，α2，α3，α4均为4维列向量，其中α2,α3,α4线性无关，α1=2α2一α3．如果β=α1+α2+α3+α4，求线性方程组Ax=β的通解
选项
答案根据题设α2,α3,α4线性无关且α1=2α2一α3，因此rA=3，同时β=α1+α2+α3+α4，则方程组Ax=β的增广矩阵B=(α1,α2,α3,α4，β)的秩也为3，即rB=3，因此方程组Ax=β有解，由4一rA=1，知Ax=β有无穷多解，且Ax=0的解空间维数等于1，即基础解系中只含一个解向量，又由已知α1=2α2一α3，即α1一2α2+α3=0，可推出[*]从而[*]是Ax=0的一个解向量，因此[*]是Ax=0的基础解系．同时由β=α1+α2+α3+α4，可推出[*]是Ax=β的一个特解，从而方程组Ax=β通解为[*]其中C为任意常数． 解析二令[*]则由β=Ax=(α1,α2,α3,α4)[*]得，x1α1+x2α2+x3α3+x4α4=α1+α2+α3+α4将α1=2α2一α3代λ上式得，(2x1+x2—3)α2+(一x1+x3)α+(x4—1)α4=0因α2,α3,α4线性无关，故而有 [*] 解上述方程组得 [*] 其中k为任意常数．
解析
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考研数学一

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