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设3阶实对称矩阵A的各行元素之和均为3,向量α1=(-1,2,-1)T,α2=(0,-1,1)T是线性方程组Ax=0的两个解. 求A的特征值与特征向量;
设3阶实对称矩阵A的各行元素之和均为3,向量α1=(-1,2,-1)T,α2=(0,-1,1)T是线性方程组Ax=0的两个解. 求A的特征值与特征向量;
admin
2021-02-25
51
问题
设3阶实对称矩阵A的各行元素之和均为3,向量α
1
=(-1,2,-1)
T
,α
2
=(0,-1,1)
T
是线性方程组Ax=0的两个解.
求A的特征值与特征向量;
选项
答案
由题设知α
1
,α
2
是Ax=0的两个解,所以有Aα
1
=0,Aα
2
=0.即Aα
1
=0α
1
,Aα
2
=0α
2
.而α
1
,α
2
线性无关,所以λ
1
=λ
2
=0是A的二重特征值,α
1
,α
2
为A的属于特征值0的两个线性无关的特征向量. 又矩阵A的各行元素之和均为3,即 [*] 由特征值与特征向量的定义,知λ
3
=3是A的一个特征值,α
3
=(1,1,1)
T
为A的属于特征值3对应的一个特征向量. 于是,A的全部特征值为λ
1
=λ
2
=0,λ
3
=3.属于特征值0对应的全部特征向量k
1
α
1
+k
2
α
2
(k
1
,k
2
是不全为零的任意常数),属于特征值3对应的全部特征向量k
3
α
3
(k
3
是不为零的任意常数).
解析
本题主要考查实对称矩阵对角化的逆问题.由α
1
,α
2
是线性方程组Ax=0的解,知α
1
,α
2
是属于0的特征向量.又由A的各行元素之和为3,知(1,1,1)
T
是A的属于3的特征向量.于是A的所有的特征值、特征向量均求出,从而本题就成为一个常规题了.
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/kZ84777K
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考研数学二
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