2. 考研
  3. 设3阶实对称矩阵A的各行元素之和均为3，向量α1=(-1，2，-1)T，α2=(0，-1，1)T是线性方程组Ax=0的两个解． 求A的特征值与特征向量；

设3阶实对称矩阵A的各行元素之和均为3，向量α1=(-1，2，-1)T，α2=(0，-1，1)T是线性方程组Ax=0的两个解． 求A的特征值与特征向量；

admin2021-02-25  79
问题 设3阶实对称矩阵A的各行元素之和均为3，向量α1=(-1，2，-1)T，α2=(0，-1，1)T是线性方程组Ax=0的两个解．
求A的特征值与特征向量；
选项
答案由题设知α1，α2是Ax=0的两个解，所以有Aα1=0，Aα2=0．即Aα1=0α1，Aα2=0α2．而α1，α2线性无关，所以λ1=λ2=0是A的二重特征值，α1，α2为A的属于特征值0的两个线性无关的特征向量． 又矩阵A的各行元素之和均为3，即 [*] 由特征值与特征向量的定义，知λ3=3是A的一个特征值，α3=(1，1，1)T为A的属于特征值3对应的一个特征向量． 于是，A的全部特征值为λ1=λ2=0，λ3=3．属于特征值0对应的全部特征向量k1α1+k2α2(k1，k2是不全为零的任意常数)，属于特征值3对应的全部特征向量k3α3(k3是不为零的任意常数)．
解析 本题主要考查实对称矩阵对角化的逆问题．由α1，α2是线性方程组Ax=0的解，知α1，α2是属于0的特征向量．又由A的各行元素之和为3，知(1，1，1)T是A的属于3的特征向量．于是A的所有的特征值、特征向量均求出，从而本题就成为一个常规题了．
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考研数学二

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