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设0<a1<1,an+1=1n(2-an)+an,证明:数列{an}收敛,并求.
设0<a1<1,an+1=1n(2-an)+an,证明:数列{an}收敛,并求.
admin
2021-03-10
108
问题
设0<a
1
<1,a
n+1
=1n(2-a
n
)+a
n
,证明:数列{a
n
}收敛,并求
.
选项
答案
令f(x)=ln(2-x)+x,其中上x<2, 由f’(x)=[*]得x=1, 当x<1时,f’(x)>0;当1<x<2时,f’(x)<0, 即x=1为f(x)的最大值点,最大值为M=f(1)=1, 从而有a
n
<1(n=1,2,…),即数列{a
n
}有上界; 又当a
n
<1时,2-a
n
>1,从而1n(2-a
n
)>0,于是a
n+1
=1n(2-a
n
)+a
n
>a
n
,即数列{a
n
}单调递增,故数列{a
n
)收敛,即[*]存在. 令[*],由a
n+1
=1n(2-a
n
)+a
n
两边取极限得A=1n(2-A)+A,解得A=1.
解析
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考研数学二
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