设0＜a1＜1，an＋1＝1n(2－an)＋an，证明：数列{an}收敛，并求．

admin2021-03-10 96

问题设0＜a₁＜1，a_n＋1＝1n(2－a_n)＋a_n，证明：数列{a_n}收敛，并求

．

选项

答案令f(x)＝ln(2－x)＋x，其中上x＜2，由f’(x)＝[*]得x＝1，当x＜1时，f’(x)＞0；当1＜x＜2时，f’(x)＜0，即x＝1为f(x)的最大值点，最大值为M＝f(1)＝1，从而有a_n＜1(n＝1，2，…)，即数列{a_n}有上界；又当a_n＜1时，2－a_n＞1，从而1n(2－a_n)＞0，于是a_n＋1＝1n(2－a_n)＋a_n＞a_n，即数列{a_n}单调递增，故数列{a_n)收敛，即[*]存在．令[*]，由a_n＋1＝1n(2－a_n)＋a_n两边取极限得A＝1n(2－A)＋A，解得A＝1．

解析

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