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  3. 设0＜a1＜1，an＋1＝1n(2－an)＋an，证明：数列{an}收敛，并求．

设0＜a1＜1，an＋1＝1n(2－an)＋an，证明：数列{an}收敛，并求．

admin2021-03-10  93
问题 设0＜a1＜1，an＋1＝1n(2－an)＋an，证明：数列{an}收敛，并求．
选项
答案令f(x)＝ln(2－x)＋x，其中上x＜2， 由f’(x)＝[*]得x＝1， 当x＜1时，f’(x)＞0；当1＜x＜2时，f’(x)＜0， 即x＝1为f(x)的最大值点，最大值为M＝f(1)＝1， 从而有an＜1(n＝1，2，…)，即数列{an}有上界； 又当an＜1时，2－an＞1，从而1n(2－an)＞0，于是an＋1＝1n(2－an)＋an＞an，即数列{an}单调递增，故数列{an)收敛，即[*]存在． 令[*]，由an＋1＝1n(2－an)＋an两边取极限得A＝1n(2－A)＋A，解得A＝1．
解析
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考研数学二

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