设0<x0<1,xn+1=xn(2-xn),求证:{xn}收敛并求xn.

admin2018-06-15  33

问题 设0<x0<1,xn+1=xn(2-xn),求证:{xn}收敛并求xn

选项

答案令f(x)=x(2-x),则xn+1=f(xn).易知 f’(x)=2(1-x)>0,x∈(0,1). 因0<x0<1[*]x1=x0(2-x0)=1-(x0-1)2∈(0,1). 若xn∈(0,1)[*]xn+1=xn(2-xn)∈(0,1). 又x1-x0=x0(1-x0)>0[*]{xn}单调上升且有界[*]ヨ极限[*]xn=a. 由递归方程得a=a(2-a).显然a>0[*]a=1.因此[*]xn=1.

解析
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