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设0<x0<1,xn+1=xn(2-xn),求证:{xn}收敛并求xn.
设0<x0<1,xn+1=xn(2-xn),求证:{xn}收敛并求xn.
admin
2018-06-15
34
问题
设0<x
0
<1,x
n+1
=x
n
(2-x
n
),求证:{x
n
}收敛并求
x
n
.
选项
答案
令f(x)=x(2-x),则x
n+1
=f(x
n
).易知 f’(x)=2(1-x)>0,x∈(0,1). 因0<x
0
<1[*]x
1
=x
0
(2-x
0
)=1-(x
0
-1)
2
∈(0,1). 若x
n
∈(0,1)[*]x
n+1
=x
n
(2-x
n
)∈(0,1). 又x
1
-x
0
=x
0
(1-x
0
)>0[*]{x
n
}单调上升且有界[*]ヨ极限[*]x
n
=a. 由递归方程得a=a(2-a).显然a>0[*]a=1.因此[*]x
n
=1.
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/pHg4777K
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考研数学一
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