设幂级数在x=0处收敛，在x=2b处发散，求幂级数的收敛半径R与收敛域，并分别求幂级数的收敛半径．

admin2016-07-22 65

问题设幂级数

在x=0处收敛，在x=2b处发散，求幂级数

的收敛半径R与收敛域，并分别求幂级数

的收敛半径．

选项

答案令t=x-b，收敛中心x₀=b的幂级数[*](x-b)ⁿ化为收敛中心t₀=0的幂级数 [*]根据阿贝尔定理可以得到如下结论：因为[*]在t=-b处收敛，从而当｜t｜＜｜-b｜=｜b｜时，幂级数[*]绝对收敛．由于[*]t=b处发散，进而当｜t｜＞b时，幂级数[*]发散．由上述两方面，根据幂级数收敛半径的定义即知[*]的收敛半径R=｜b｜，其收敛域为-｜b｜≤x＜｜b｜．注意到幂级数[*]分别经逐项求导和逐项积分所得，根据幂级数逐项求导、逐项积分所得幂级数的收敛半径不变的性质，即知它们的收敛半径都是R=｜b｜．

解析

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考研数学一

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