设幂级数在x=0处收敛,在x=2b处发散,求幂级数的收敛半径R与收敛域,并分别求幂级数的收敛半径.

admin2016-07-22  46

问题 设幂级数在x=0处收敛,在x=2b处发散,求幂级数的收敛半径R与收敛域,并分别求幂级数的收敛半径.

选项

答案令t=x-b,收敛中心x0=b的幂级数[*](x-b)n化为收敛中心t0=0的幂级数 [*]根据阿贝尔定理可以得到如下结论: 因为[*]在t=-b处收敛,从而当|t|<|-b|=|b|时,幂级数[*]绝对收敛. 由于[*]t=b处发散,进而当|t|>b时,幂级数[*]发散. 由上述两方面,根据幂级数收敛半径的定义即知[*]的收敛半径R=|b|,其收敛域为-|b|≤x<|b|. 注意到幂级数[*]分别经逐项求导和逐项积分所得,根据幂级数逐项求导、逐项积分所得幂级数的收敛半径不变的性质,即知它们的收敛半径都是R=|b|.

解析
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