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设f(x)为连续函数,将逐次积分∫01dx∫0xdy∫0yf(z)dz化成定积分的形式为________.
设f(x)为连续函数,将逐次积分∫01dx∫0xdy∫0yf(z)dz化成定积分的形式为________.
admin
2022-07-21
67
问题
设f(x)为连续函数,将逐次积分∫
0
1
dx∫
0
x
dy∫
0
y
f(z)dz化成定积分的形式为________.
选项
答案
[*]∫
0
1
(1-z)
2
f(z)dz
解析
积分区域D
yz
={(y,z)|0≤z≤y,0≤y≤x}={(y,z)|z≤y≤x,0≤z≤x},
故 ∫
0
1
dx∫
0
x
dy∫
0
y
f(z)dz=∫
0
1
dx∫
0
x
f(z)dz∫
z
x
dy=∫
0
1
dx∫
0
x
(x-z)f(z)dz
又D
xz
={(x,z)|0≤z≤x,0≤x≤1}={(x,z)|z≤x≤1,0≤z≤1},
所以 ∫
0
1
dx∫
0
x
(x-z)f(z)dz=∫
0
1
dz∫
z
1
(x-z)f(z)dx=
∫
0
1
(1-z)
2
f(z)dz
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0
考研数学二
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