设f(x)为连续函数，将逐次积分∫01dx∫0xdy∫0yf(z)dz化成定积分的形式为________．

admin2022-07-21 84

问题设f(x)为连续函数，将逐次积分∫₀¹dx∫₀^xdy∫₀^yf(z)dz化成定积分的形式为________．

选项

答案[*]∫₀¹(1-z)²f(z)dz

解析积分区域D_yz={(y，z)｜0≤z≤y，0≤y≤x}={(y，z)｜z≤y≤x，0≤z≤x}，
故 ∫₀¹dx∫₀^xdy∫₀^yf(z)dz=∫₀¹dx∫₀^xf(z)dz∫_z^xdy=∫₀¹dx∫₀^x(x-z)f(z)dz
又D_xz={(x，z)｜0≤z≤x，0≤x≤1}={(x，z)｜z≤x≤1，0≤z≤1}，
所以 ∫₀¹dx∫₀^x(x-z)f(z)dz=∫₀¹dz∫_z¹(x-z)f(z)dx=

∫₀¹(1-z)²f(z)dz

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