2. 考研
  3. (2012年试题，三)已知二次型f(x1，x2，x3)=xT(ATA)x的秩为2， (1)求实数α的值； (2)求正交变换x=Qy将f化为标准形．

(2012年试题，三)已知二次型f(x1，x2，x3)=xT(ATA)x的秩为2， (1)求实数α的值； (2)求正交变换x=Qy将f化为标准形．

admin2021-01-19  51
问题 (2012年试题，三)已知二次型f(x1，x2，x3)=xT(ATA)x的秩为2，
(1)求实数α的值；
(2)求正交变换x=Qy将f化为标准形．
选项
答案(1)由题，二次型的秩为2，意即矩阵ATA的秩也为2,｜ATA｜=0，[*]=(a2+3)(a+1)2=0，得a=一1(2)将a=一1代入ATA中，得[*][*]得ATA的特征值λ1=0，λ2=2，λ3=6．分别将特征值λ1，λ2，λ3代入(ATE—ATA)X=0，求得对应各自特征值的特征向量为ξ1=(1，1，一1)Tξ2=(1，一1，0)Tξ3=(1，1，2)T再分别将ξ1,ξ2,ξ3单位化，得[*]则令Q=(η1，η2，η3)，则(x1，x2，x3)=xT(ATA)x=(Qy)T(ATA)(Qy)=yTQTATAQy=2y22+6y32即为f的标准形．
解析
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考研数学二

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