(2012年试题，三)已知二次型f(x1，x2，x3)=xT(ATA)x的秩为2， (1)求实数α的值； (2)求正交变换x=Qy将f化为标准形．

admin2021-01-19 45

问题 (2012年试题，三)已知

二次型f(x₁，x₂，x₃)=x^T(A^TA)x的秩为2，
(1)求实数α的值；
(2)求正交变换x=Qy将f化为标准形．

选项

答案(1)由题，二次型的秩为2，意即矩阵A^TA的秩也为2,｜A^TA｜=0，[*]=(a²+3)(a+1)²=0，得a=一1(2)将a=一1代入A^TA中，得[*][*]得A^TA的特征值λ₁=0，λ₂=2，λ₃=6．分别将特征值λ₁，λ₂，λ₃代入(A^TE—A^TA)X=0，求得对应各自特征值的特征向量为ξ₁=(1，1，一1)^Tξ₂=(1，一1，0)^Tξ₃=(1，1，2)^T再分别将ξ₁,ξ₂,ξ₃单位化，得[*]则令Q=(η₁，η₂，η₃)，则(x₁，x₂，x₃)=x^T(A^TA)x=(Qy)^T(A^TA)(Qy)=y^TQ^TA^TAQy=2y₂²+6y₃²即为f的标准形．

解析

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考研数学二

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(2012年试题，三)已知二次型f(x1，x2，x3)=xT(ATA)x的秩为2， (1)求实数α的值； (2)求正交变换x=Qy将f化为标准形．

考研数学二

二次型f(x1，x2，x3)=5x12+5x22+cx32一2x1x2+6x1x3—6x2x3的秩为2。求参数c及此二次型对应矩阵的特征值；

设A为n阶可逆矩阵，A为A的伴随矩阵。证明(A)T=(AT)*。

设A为三阶实对称矩阵，α1＝(m，－m，1)T是方程组Aχ＝0的解，α2＝(m，1，1－m)T是方程组(A＋E)χ＝0的解，则m＝________．

已知四元非齐次线性方程组系数矩阵的秩为2，它的三个解向量为η1，η2，η3，且η1+2η2=(2，0，5，-1)T，η1+2η3=(4，3，-1，5)T，η3+2η1=(1，0，-1，2)T求方程组的通解。

已知f(x)是周期为5的连续函数，它在x＝0的某个邻域内满足关系式f(1＋sinx)－3f(1－sinx)＝8x＋a(x)，其中a(x)是当x→0时比x高阶的无穷小，且f(x)在x＝1处可导，求曲线y＝f(x)在点(6，f(6))处的切线方程．

设A是3阶矩阵，有特征值λ1＝1，λ2＝－1，λ3＝0，对应的特征向量分别是ξ1，ξ2，ξ3，k1，k2是任意常数，则非齐次方程组Ax＝ξ1﹢ξ2z的通解是()

设f(x)在(一∞，+∞)内有定义，且对于任意x与y均有f(x+y)=f(x)ey+f(y)ex，又设f’(0)存在且等于a(a≠0)．试证明：对任意:f’(x)都存在，并求f(x)．

设5χ12＋χ22＋tχ32＋4χ1χ2－2χ1χ3－2χ2χ3为正定二次型，则t的取值范围是_______．

求极限：

根据应聘者可能担任的职位，编制一套与该职位实际情况相似的测试项目，将应聘者安排在模拟的、逼真的工作环境中，要求应聘者处理可能出现的各种问题，以此来测试出其心理素质、实际工作能力及潜能的方法是【】

营销战术4P指的是()

纤维素样坏死可见于

下列不属于现场定性研究的是

挖孔桩施工时，在()情况下设通风设备。

泡沫灭火系统主要由()组成。

A、 B、 C、 D、 B每行图形中封闭部分的和为5。

“公民在法律面前一律平等”是公民享有平等权的宪法依据，也是国家机关活动应遵循的原则。下列做法不符合这一原则的是()。

以下关于电子商务的描述中，正确的是______。

(2012年试题，三)已知二次型f(x1，x2，x3)=xT(ATA)x的秩为2， (1)求实数α的值； (2)求正交变换x=Qy将f化为标准形．

考研数学二

二次型f(x1，x2，x3)=5x12+5x22+cx32一2x1x2+6x1x3—6x2x3的秩为2。求参数c及此二次型对应矩阵的特征值；

设A为n阶可逆矩阵，A*为A的伴随矩阵。证明(A*)T=(AT)*。

设A为三阶实对称矩阵，α1＝(m，－m，1)T是方程组Aχ＝0的解，α2＝(m，1，1－m)T是方程组(A＋E)χ＝0的解，则m＝________．

已知四元非齐次线性方程组系数矩阵的秩为2，它的三个解向量为η1，η2，η3，且η1+2η2=(2，0，5，-1)T，η1+2η3=(4，3，-1，5)T，η3+2η1=(1，0，-1，2)T求方程组的通解。

已知f(x)是周期为5的连续函数，它在x＝0的某个邻域内满足关系式f(1＋sinx)－3f(1－sinx)＝8x＋a(x)，其中a(x)是当x→0时比x高阶的无穷小，且f(x)在x＝1处可导，求曲线y＝f(x)在点(6，f(6))处的切线方程．

设A是3阶矩阵，有特征值λ1＝1，λ2＝－1，λ3＝0，对应的特征向量分别是ξ1，ξ2，ξ3，k1，k2是任意常数，则非齐次方程组Ax＝ξ1﹢ξ2z的通解是()

设f(x)在(一∞，+∞)内有定义，且对于任意x与y均有f(x+y)=f(x)ey+f(y)ex，又设f’(0)存在且等于a(a≠0)．试证明：对任意:f’(x)都存在，并求f(x)．

设5χ12＋χ22＋tχ32＋4χ1χ2－2χ1χ3－2χ2χ3为正定二次型，则t的取值范围是_______．

求极限：

根据应聘者可能担任的职位，编制一套与该职位实际情况相似的测试项目，将应聘者安排在模拟的、逼真的工作环境中，要求应聘者处理可能出现的各种问题，以此来测试出其心理素质、实际工作能力及潜能的方法是【】

营销战术4P指的是()

纤维素样坏死可见于

下列不属于现场定性研究的是

挖孔桩施工时，在()情况下设通风设备。

泡沫灭火系统主要由()组成。

A、 B、 C、 D、 B每行图形中封闭部分的和为5。

“公民在法律面前一律平等”是公民享有平等权的宪法依据，也是国家机关活动应遵循的原则。下列做法不符合这一原则的是()。

以下关于电子商务的描述中，正确的是______。

设A为n阶可逆矩阵，A为A的伴随矩阵。证明(A)T=(AT)*。