2. 考研
  3. 设p(χ)，q(χ)，f(χ)均是χ的连续函数，y1(χ)，y2(χ)，y3(χ)是y〞＋p(χ)y′＋q(χ)y＝f(χ)的三个线性无关解，C1，C2为任意常数，则齐次方程y〞＋p(χ)y′＋q(χ)y＝0的通解是( )

设p(χ)，q(χ)，f(χ)均是χ的连续函数，y1(χ)，y2(χ)，y3(χ)是y〞＋p(χ)y′＋q(χ)y＝f(χ)的三个线性无关解，C1，C2为任意常数，则齐次方程y〞＋p(χ)y′＋q(χ)y＝0的通解是( )

admin2019-06-29  59
问题 设p(χ)，q(χ)，f(χ)均是χ的连续函数，y1(χ)，y2(χ)，y3(χ)是y〞＋p(χ)y′＋q(χ)y＝f(χ)的三个线性无关解，C1，C2为任意常数，则齐次方程y〞＋p(χ)y′＋q(χ)y＝0的通解是(    )
选项 A、C1y1(χ)＋(C1－C2)y2(χ)＋(1－C2)y3(χ)
B、(C1－C2)y1(χ)＋(C2－1)y2(χ)＋(1－C1)y3(χ)
C、(C1＋C2)y1(χ)＋(C1－C2)y2(χ)＋(1－C1)y3(χ)
D、C1y1(χ)＋C2y2(χ)＋(1－C1－C2)y3(χ)
答案B
解析 将选项B改写为：(C1－C2)y1(χ)＋(C2－1)y2(χ)＋(1－C1)y3(χ)
    ＝C1[y1(χ)－y3(χ)]＋C2[y2(χ)－y1(χ)]＋[y3(χ)－y2(χ)]．
    因为y1(χ)，y2(χ)，y3(χ)均是y〞＋p(χ)y′＋q(χ)y＝f(χ)的解，
    所以y1(χ)－y3(χ)，y2(χ)－y1(χ)，y3(χ)－y2(χ)均是y〞＋p(χ)y′＋q(χ)y＝0的解，并且y1(χ)－y2(χ)与y2(χ)－y1(χ)线性无关．故B为通解．
    (事实上，若y1(χ)－y3(χ)与y2(χ)－y1(χ)线性相关，则存在不全为零的k1，k2使得
    k1[y1(χ)－y3(χ)]＋k2[y2(χ)－y1(χ)]＝0，
    即(k1－k2)y1(χ)＋k2y2(χ)－k1y3(χ)＝0．
    由于y1(χ)，y2(χ)，y3(χ)是线性无关的，故k1，k2全为零，矛盾．故y1(χ)－y3(χ)与y2(χ)－y1(χ)线性无关)．
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考研数学二

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