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设p(χ)，q(χ)，f(χ)均是χ的连续函数，y1(χ)，y2(χ)，y3(χ)是y〞＋p(χ)y′＋q(χ)y＝f(χ)的三个线性无关解，C1，C2为任意常数，则齐次方程y〞＋p(χ)y′＋q(χ)y＝0的通解是( )
设p(χ)，q(χ)，f(χ)均是χ的连续函数，y1(χ)，y2(χ)，y3(χ)是y〞＋p(χ)y′＋q(χ)y＝f(χ)的三个线性无关解，C1，C2为任意常数，则齐次方程y〞＋p(χ)y′＋q(χ)y＝0的通解是( )
admin
2019-06-29
82
问题
设p(χ)，q(χ)，f(χ)均是χ的连续函数，y
1
(χ)，y
2
(χ)，y
3
(χ)是y〞＋p(χ)y′＋q(χ)y＝f(χ)的三个线性无关解，C
1
，C
2
为任意常数，则齐次方程y〞＋p(χ)y′＋q(χ)y＝0的通解是( )
选项
A、C
1
y
1
(χ)＋(C
1
－C
2
)y
2
(χ)＋(1－C
2
)y
3
(χ)
B、(C
1
－C
2
)y
1
(χ)＋(C
2
－1)y
2
(χ)＋(1－C
1
)y
3
(χ)
C、(C
1
＋C
2
)y
1
(χ)＋(C
1
－C
2
)y
2
(χ)＋(1－C
1
)y
3
(χ)
D、C
1
y
1
(χ)＋C
2
y
2
(χ)＋(1－C
1
－C
2
)y
3
(χ)
答案
B
解析
将选项B改写为：(C
1
－C
2
)y
1
(χ)＋(C
2
－1)y
2
(χ)＋(1－C
1
)y
3
(χ)
＝C
1
[y
1
(χ)－y
3
(χ)]＋C
2
[y
2
(χ)－y
1
(χ)]＋[y
3
(χ)－y
2
(χ)]．
因为y
1
(χ)，y
2
(χ)，y
3
(χ)均是y〞＋p(χ)y′＋q(χ)y＝f(χ)的解，
所以y
1
(χ)－y
3
(χ)，y
2
(χ)－y
1
(χ)，y
3
(χ)－y
2
(χ)均是y〞＋p(χ)y′＋q(χ)y＝0的解，并且y
1
(χ)－y
2
(χ)与y
2
(χ)－y
1
(χ)线性无关．故B为通解．
(事实上，若y
1
(χ)－y
3
(χ)与y
2
(χ)－y
1
(χ)线性相关，则存在不全为零的k
1
，k
2
使得
k
1
[y
1
(χ)－y
3
(χ)]＋k
2
[y
2
(χ)－y
1
(χ)]＝0，
即(k
1
－k
2
)y
1
(χ)＋k
2
y
2
(χ)－k
1
y
3
(χ)＝0．
由于y
1
(χ)，y
2
(χ)，y
3
(χ)是线性无关的，故k
1
，k
2
全为零，矛盾．故y
1
(χ)－y
3
(χ)与y
2
(χ)－y
1
(χ)线性无关)．
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/CsN4777K
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考研数学二
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