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设p(χ),q(χ),f(χ)均是χ的连续函数,y1(χ),y2(χ),y3(χ)是y〞+p(χ)y′+q(χ)y=f(χ)的三个线性无关解,C1,C2为任意常数,则齐次方程y〞+p(χ)y′+q(χ)y=0的通解是( )
设p(χ),q(χ),f(χ)均是χ的连续函数,y1(χ),y2(χ),y3(χ)是y〞+p(χ)y′+q(χ)y=f(χ)的三个线性无关解,C1,C2为任意常数,则齐次方程y〞+p(χ)y′+q(χ)y=0的通解是( )
admin
2019-06-29
58
问题
设p(χ),q(χ),f(χ)均是χ的连续函数,y
1
(χ),y
2
(χ),y
3
(χ)是y〞+p(χ)y′+q(χ)y=f(χ)的三个线性无关解,C
1
,C
2
为任意常数,则齐次方程y〞+p(χ)y′+q(χ)y=0的通解是( )
选项
A、C
1
y
1
(χ)+(C
1
-C
2
)y
2
(χ)+(1-C
2
)y
3
(χ)
B、(C
1
-C
2
)y
1
(χ)+(C
2
-1)y
2
(χ)+(1-C
1
)y
3
(χ)
C、(C
1
+C
2
)y
1
(χ)+(C
1
-C
2
)y
2
(χ)+(1-C
1
)y
3
(χ)
D、C
1
y
1
(χ)+C
2
y
2
(χ)+(1-C
1
-C
2
)y
3
(χ)
答案
B
解析
将选项B改写为:(C
1
-C
2
)y
1
(χ)+(C
2
-1)y
2
(χ)+(1-C
1
)y
3
(χ)
=C
1
[y
1
(χ)-y
3
(χ)]+C
2
[y
2
(χ)-y
1
(χ)]+[y
3
(χ)-y
2
(χ)].
因为y
1
(χ),y
2
(χ),y
3
(χ)均是y〞+p(χ)y′+q(χ)y=f(χ)的解,
所以y
1
(χ)-y
3
(χ),y
2
(χ)-y
1
(χ),y
3
(χ)-y
2
(χ)均是y〞+p(χ)y′+q(χ)y=0的解,并且y
1
(χ)-y
2
(χ)与y
2
(χ)-y
1
(χ)线性无关.故B为通解.
(事实上,若y
1
(χ)-y
3
(χ)与y
2
(χ)-y
1
(χ)线性相关,则存在不全为零的k
1
,k
2
使得
k
1
[y
1
(χ)-y
3
(χ)]+k
2
[y
2
(χ)-y
1
(χ)]=0,
即(k
1
-k
2
)y
1
(χ)+k
2
y
2
(χ)-k
1
y
3
(χ)=0.
由于y
1
(χ),y
2
(χ),y
3
(χ)是线性无关的,故k
1
,k
2
全为零,矛盾.故y
1
(χ)-y
3
(χ)与y
2
(χ)-y
1
(χ)线性无关).
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考研数学二
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