设p(χ)，q(χ)，f(χ)均是χ的连续函数，y1(χ)，y2(χ)，y3(χ)是y〞＋p(χ)y′＋q(χ)y＝f(χ)的三个线性无关解，C1，C2为任意常数，则齐次方程y〞＋p(χ)y′＋q(χ)y＝0的通解是( )

admin2019-06-29 89

问题设p(χ)，q(χ)，f(χ)均是χ的连续函数，y₁(χ)，y₂(χ)，y₃(χ)是y〞＋p(χ)y′＋q(χ)y＝f(χ)的三个线性无关解，C₁，C₂为任意常数，则齐次方程y〞＋p(χ)y′＋q(χ)y＝0的通解是( )

选项 A、C₁y₁(χ)＋(C₁－C₂)y₂(χ)＋(1－C₂)y₃(χ)
B、(C₁－C₂)y₁(χ)＋(C₂－1)y₂(χ)＋(1－C₁)y₃(χ)
C、(C₁＋C₂)y₁(χ)＋(C₁－C₂)y₂(χ)＋(1－C₁)y₃(χ)
D、C₁y₁(χ)＋C₂y₂(χ)＋(1－C₁－C₂)y₃(χ)

答案B

解析将选项B改写为：(C₁－C₂)y₁(χ)＋(C₂－1)y₂(χ)＋(1－C₁)y₃(χ)
＝C₁[y₁(χ)－y₃(χ)]＋C₂[y₂(χ)－y₁(χ)]＋[y₃(χ)－y₂(χ)]．
因为y₁(χ)，y₂(χ)，y₃(χ)均是y〞＋p(χ)y′＋q(χ)y＝f(χ)的解，
所以y₁(χ)－y₃(χ)，y₂(χ)－y₁(χ)，y₃(χ)－y₂(χ)均是y〞＋p(χ)y′＋q(χ)y＝0的解，并且y₁(χ)－y₂(χ)与y₂(χ)－y₁(χ)线性无关．故B为通解．
(事实上，若y₁(χ)－y₃(χ)与y₂(χ)－y₁(χ)线性相关，则存在不全为零的k₁，k₂使得
k₁[y₁(χ)－y₃(χ)]＋k₂[y₂(χ)－y₁(χ)]＝0，
即(k₁－k₂)y₁(χ)＋k₂y₂(χ)－k₁y₃(χ)＝0．
由于y₁(χ)，y₂(χ)，y₃(χ)是线性无关的，故k₁，k₂全为零，矛盾．故y₁(χ)－y₃(χ)与y₂(χ)－y₁(χ)线性无关)．

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考研数学二

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