若3阶矩阵A的特征值为﹣1，1，2，则｜A*＋2E｜＝_________．

admin2020-06-05 24

问题若3阶矩阵A的特征值为﹣1，1，2，则｜A^*＋2E｜＝_________．

选项

答案0

解析方法一因为A的特征值λ与它的伴随矩阵A^*的特征值μ的关系为μ=

，而A^*+2E的相应特征值为γ＝2＋μ，即γ＝2＋

．又因为｜A｜＝λ₁λ₂λ₃＝(﹣1)×1×2＝﹣2，因此A^*+2E的特征值依次为γ₁＝2＋

＝2＋

＝4，γ₂＝2＋

＝2＋

＝0，γ₃＝2＋

＝2＋

＝1，从而可得｜A^*＋2E｜＝γ₁γ₂γ₃＝0．
方法二
取A＝diag(﹣1，1，2)，则A^*＝﹣2diag(﹣1，1，1/2)＝diag(2，﹣2，﹣1)，进而有
A^*＋2E＝diag(2，﹣2，﹣1)＋diag(2，2，2)＝diag(4，0，1)
于是
｜A^*＋2E｜＝4×0×1＝0

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考研数学一

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