设A是m×n矩阵.证明:r(A)=1存在m维和n维非零列向量α和β,使得A=αβT.

admin2016-10-21  41

问题 设A是m×n矩阵.证明:r(A)=1存在m维和n维非零列向量α和β,使得A=αβT

选项

答案“[*]”记A的列向量组为α1,α2,…,αn,则因为r(A)=1,所以r(α1,α2,…,αn)=1.于是A一定有非零列向量,记α为一个非零列向量,则每个αi都是α的倍数.设αi=biα,i=1,2,…,n.记B=(b1,b2,…,bn)T,则β≠0,并且A=(α1,α2,…,αn)=(b1α,b2α,…,bnα)=αβT. “[*]”设A=αβT,则r(A)≤r(α)=1.由于α,β都不是零向量,可设α的第i个分量αi≠0,β的第j个分量bi≠0.则A的(i,j)位元素为aibi≠0,因此A≠0,从而r(A)>0.得r(A)=1.

解析
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