设A是m×n矩阵．证明：r(A)＝1存在m维和n维非零列向量α和β，使得A＝αβT．

admin2016-10-21 85

问题设A是m×n矩阵．证明：r(A)＝1

存在m维和n维非零列向量α和β，使得A＝αβ^T．

选项

答案“[*]”记A的列向量组为α₁，α₂，…，α_n，则因为r(A)＝1，所以r(α₁，α₂，…，α_n)＝1．于是A一定有非零列向量，记α为一个非零列向量，则每个α_i都是α的倍数．设α_i＝b_iα，i＝1，2，…，n．记B＝(b₁，b₂，…，b_n)^T，则β≠0，并且A＝(α₁，α₂，…，α_n)＝(b₁α，b₂α，…，b_nα)＝αβ^T． “[*]”设A＝αβ^T，则r(A)≤r(α)＝1．由于α，β都不是零向量，可设α的第i个分量α_i≠0，β的第j个分量b_i≠0．则A的(i，j)位元素为a_ib_i≠0，因此A≠0，从而r(A)＞0．得r(A)＝1．

解析

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