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  3. (1)求函数f(x)=的幂级数展开式； (2)利用(1)的结果求级数的和。

(1)求函数f(x)=的幂级数展开式； (2)利用(1)的结果求级数的和。

admin2021-04-16  74
问题 (1)求函数f(x)=的幂级数展开式；
    (2)利用(1)的结果求级数的和。
选项
答案(1)由f’(x)=1／(1+x2)=[*](-1)nx2n(一1＜x＜1)，得f(x)-f(0)=∫0xf’(t)dx=∫0x[*][(-1)nt2n]dt=[*]， 而f(0)=arctan1=π／4，所以 [*](-1＜x＜1)。 当x=-1时，上式右边的级数成为[*]，这是收敛的交错级数，故[*]的收敛域为[-1，1)，又幂级数的和函数在收敛域上连续，因此有 [*](-1≤x＜1)。 (2)利用(1)的结果，取x=1／2，得 [*] 所以[*]=2arctan3-π／2。
解析
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考研数学三

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