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(1)求函数f(x)=的幂级数展开式; (2)利用(1)的结果求级数的和。
(1)求函数f(x)=的幂级数展开式; (2)利用(1)的结果求级数的和。
admin
2021-04-16
116
问题
(1)求函数f(x)=
的幂级数展开式;
(2)利用(1)的结果求级数
的和。
选项
答案
(1)由f’(x)=1/(1+x
2
)=[*](-1)
n
x
2n
(一1<x<1),得f(x)-f(0)=∫
0
x
f’(t)dx=∫
0
x
[*][(-1)
n
t
2n
]dt=[*], 而f(0)=arctan1=π/4,所以 [*](-1<x<1)。 当x=-1时,上式右边的级数成为[*],这是收敛的交错级数,故[*]的收敛域为[-1,1),又幂级数的和函数在收敛域上连续,因此有 [*](-1≤x<1)。 (2)利用(1)的结果,取x=1/2,得 [*] 所以[*]=2arctan3-π/2。
解析
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考研数学三
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