(1)求函数f(x)=的幂级数展开式； (2)利用(1)的结果求级数的和。

admin2021-04-16 55

问题 (1)求函数f(x)=

的幂级数展开式；
(2)利用(1)的结果求级数

的和。

选项

答案(1)由f’(x)=1／(1+x²)=[*](-1)ⁿx²ⁿ(一1＜x＜1)，得f(x)-f(0)=∫₀^xf’(t)dx=∫₀^x[*][(-1)ⁿt²ⁿ]dt=[*]，而f(0)=arctan1=π／4，所以 [*](-1＜x＜1)。当x=-1时，上式右边的级数成为[*]，这是收敛的交错级数，故[*]的收敛域为[-1，1)，又幂级数的和函数在收敛域上连续，因此有 [*](-1≤x＜1)。 (2)利用(1)的结果，取x=1／2，得 [*] 所以[*]=2arctan3-π／2。

解析

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