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设函数y=y(x)是微分方程y’’-3y’+2y=0满足条件y(0)=1,y’(0)=2的特解,则直线x=0,y=e2与曲线y=y(x)所围成的图形绕Y轴旋转所得旋转体的体积为________.
设函数y=y(x)是微分方程y’’-3y’+2y=0满足条件y(0)=1,y’(0)=2的特解,则直线x=0,y=e2与曲线y=y(x)所围成的图形绕Y轴旋转所得旋转体的体积为________.
admin
2019-05-14
55
问题
设函数y=y(x)是微分方程y’’-3y’+2y=0满足条件y(0)=1,y’(0)=2的特解,则直线x=0,y=e
2
与曲线y=y(x)所围成的图形绕Y轴旋转所得旋转体的体积为________.
选项
答案
[*](e
2
-1)
解析
本题考查二阶线性常系数齐次微分方程的求解与旋转体的体积计算.
先求微分方程的特解:微分方程y’’-3y’+2y=0的特征方程为r
2
-3r+2=0,特征根为r
1
=1,r
2
=2,所以微分方程的通解为
y=C
1
e
x
+C
2
e
2x
.
进一步,y’=C
1
e
x
+2C
2
e
2x
,由y(0)=1,y’(0)=2,得
解得C
1
=0,C
2
=1,所以微分方程的特解为y=e
2x
.
再求旋转体的体积:取x为积分变量,则直线x=0,y=e
2
与曲线y=y(x)所围成的图形(如图55所示)绕y轴旋转所得旋转体的体积为
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