设函数y=y(x)是微分方程y’’-3y’+2y=0满足条件y(0)=1，y’(0)=2的特解，则直线x=0，y=e2与曲线y=y(x)所围成的图形绕Y轴旋转所得旋转体的体积为________．

admin2019-05-14 46

问题设函数y=y(x)是微分方程y’’-3y’+2y=0满足条件y(0)=1，y’(0)=2的特解，则直线x=0，y=e²与曲线y=y(x)所围成的图形绕Y轴旋转所得旋转体的体积为________．

选项

答案[*](e²-1)

解析本题考查二阶线性常系数齐次微分方程的求解与旋转体的体积计算．
先求微分方程的特解：微分方程y’’-3y’+2y=0的特征方程为r²-3r+2=0，特征根为r₁=1，r₂=2，所以微分方程的通解为
y=C₁e^x+C₂e^2x．
进一步，y’=C₁e^x+2C₂e^2x，由y(0)=1，y’(0)=2，得

解得C₁=0，C₂=1，所以微分方程的特解为y=e^2x．
再求旋转体的体积：取x为积分变量，则直线x=0，y=e²与曲线y=y(x)所围成的图形(如图55所示)绕y轴旋转所得旋转体的体积为

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设函数y=y(x)是微分方程y’’-3y’+2y=0满足条件y(0)=1，y’(0)=2的特解，则直线x=0，y=e2与曲线y=y(x)所围成的图形绕Y轴旋转所得旋转体的体积为________．

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