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  3. 设二阶常系数齐次线性微分方程y"+by’+y=0的每一个解y(x)都在区间(0，+∞)上有界，则实数b的取值范围是( )．

设二阶常系数齐次线性微分方程y"+by’+y=0的每一个解y(x)都在区间(0，+∞)上有界，则实数b的取值范围是( )．

admin2020-03-24  50
问题 设二阶常系数齐次线性微分方程y"+by’+y=0的每一个解y(x)都在区间(0，+∞)上有界，则实数b的取值范围是(    )．
选项 A、[0，+∞)
B、(一∞，0)
C、(一∞，4]
D、(一∞，+00)
答案A
解析 因为特征方程为λ2+bλ+1=0，其判别式为△=b2一4．
    当b≠±2时，微分方程的通解为y(x)=．所以，
    当b2一4＞0时，要使解y(x)在(o，+∞)上有界，只需要b±≥0，即b>2；
    当b2一4＜0时，要使解y(x)在(0，+∞)上有界，只需要b+的实部大于等于0，即0≤b＜2；
    当b=2时，解y(x)=(c1+c2x)e—x在区间(0，+∞)上有界；
    当b=一2时，解y(x)=(c1+c2x)ex在区间(0，+∞)上无界．
    综上所述，当且仅当b≥0时，微分方程y"+by’+y=0的每一个解y(x)都在区间(0，+∞)上有界，故选A．
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考研数学三

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