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已知向量组(Ⅰ)α1,α2,α3;(Ⅱ)α1,α2,α3,α4; (Ⅲ)α1,α2,α3,α5,如果它们的秩分别为r(Ⅰ)=r(Ⅱ)=3,r(Ⅲ)=4,求r(α1,α2,α3,α4+α5).
已知向量组(Ⅰ)α1,α2,α3;(Ⅱ)α1,α2,α3,α4; (Ⅲ)α1,α2,α3,α5,如果它们的秩分别为r(Ⅰ)=r(Ⅱ)=3,r(Ⅲ)=4,求r(α1,α2,α3,α4+α5).
admin
2016-10-20
42
问题
已知向量组(Ⅰ)α
1
,α
2
,α
3
;(Ⅱ)α
1
,α
2
,α
3
,α
4
;
(Ⅲ)α
1
,α
2
,α
3
,α
5
,如果它们的秩分别为r(Ⅰ)=r(Ⅱ)=3,r(Ⅲ)=4,求r(α
1
,α
2
,α
3
,α
4
+α
5
).
选项
答案
(1)由r(Ⅰ)=r(Ⅱ)=3,知α
1
,α
2
,α
3
线性无关,α
1
,α
2
,α
3
,α
4
线性相关,故α
4
可由α
1
, α
2
,α
3
线性表出.设α
4
=l
1
α
1
+l
2
α
2
+l
3
α
3
. 如果α
4
+α
5
能由α
1
,α
2
,α
3
线性表出,设α
4
+α
5
=k
1
α
1
+k
2
α
2
+k
3
α
3
,则 α
5
=(k
1
-l
1
)α
1
+(k
2
-l
2
)α
2
+(k
3
-l
3
)α
3
. 于是α
5
可由α
1
,α
2
,α
3
线性表出,即α
1
,α
2
,α
3
,α
5
线性相关,与已知r(Ⅲ)=4相矛盾.所以α
4
+α
5
不能用α
1
,α
2
,α
3
线性表出,由秩的定义知r(α
1
,α
2
,α
3
,α
4
+α
5
)=4. (2)如果x
1
α
1
+x
2
α
2
+x
3
α
3
+x
4
(α
4
+α
5
)=0,把α
4
=l
1
α
1
+l
2
α
2
+l
3
α
3
(理由同前,略) 代入有 (x
1
+l
1
x
4
)α
1
+(x
2
+l
2
x
4
)α
2
+(x
3
+l
3
x
4
)α
3
+x
4
α
5
=0. 由r(Ⅲ)=4,知α
1
,α
2
,α
3
,α
5
线性无关,从而 [*] (3)同前,设α
4
=l
1
α
1
+l
2
α
2
+l
3
α
3
,构造矩阵(α
1
,α
2
,α
3
,α
5
)作初等列变换. (α
1
,α
2
,α
3
,α
5
)[*](α
1
,α
2
,α
3
,α
5
+l
1
α
1
+l
2
α
2
+l
3
α
3
), 即(α
1
,α
2
,α
3
,α
5
)[*](α
1
,α
2
,α
3
,α
5
+α
4
).由于初等变换不改变秩,故 r(α
1
,α
2
,α
3
,α
5
+α
4
)=r(α
1
,α
2
,α
3
,α
5
)=4.
解析
由于r(Ⅰ)=3,得α
1
,α
2
,α
3
线性无关,那么向量组α
1
,α
2
,α
3
,α
4
+α
5
的秩至少是3,能否是4?关键就看α
4
+α
5
能否用α
1
,α
2
,α
3
线性表出,或者看向量组α
1
,α
2
,α
3
,α
4
+α
5
是线性相关还是线性无关.
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/peT4777K
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考研数学三
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