2. 考研
  3. 已知向量组(Ⅰ)α1，α2，α3；(Ⅱ)α1，α2，α3，α4； (Ⅲ)α1，α2，α3，α5，如果它们的秩分别为r(Ⅰ)=r(Ⅱ)=3，r(Ⅲ)=4，求r(α1，α2，α3，α4+α5)．

已知向量组(Ⅰ)α1，α2，α3；(Ⅱ)α1，α2，α3，α4； (Ⅲ)α1，α2，α3，α5，如果它们的秩分别为r(Ⅰ)=r(Ⅱ)=3，r(Ⅲ)=4，求r(α1，α2，α3，α4+α5)．

admin2016-10-20  43
问题 已知向量组(Ⅰ)α1，α2，α3；(Ⅱ)α1，α2，α3，α4；
(Ⅲ)α1，α2，α3，α5，如果它们的秩分别为r(Ⅰ)=r(Ⅱ)=3，r(Ⅲ)=4，求r(α1，α2，α3，α4+α5)．
选项
答案(1)由r(Ⅰ)=r(Ⅱ)=3，知α1，α2，α3线性无关，α1，α2，α3，α4线性相关，故α4可由α1， α2，α3线性表出．设α4=l1α1+l2α2+l3α3． 如果α4+α5能由α1，α2，α3线性表出，设α4+α5=k1α1+k2α2+k3α3，则 α5=(k1-l1)α1+(k2-l2)α2+(k3-l3)α3． 于是α5可由α1，α2，α3线性表出，即α1，α2，α3，α5线性相关，与已知r(Ⅲ)=4相矛盾．所以α4+α5不能用α1，α2，α3线性表出，由秩的定义知r(α1，α2，α3，α4+α5)=4． (2)如果x1α1+x2α2+x3α3+x4(α4+α5)=0，把α4=l1α1+l2α2+l3α3 (理由同前，略) 代入有 (x1+l1x4)α1+(x2+l2x4)α2+(x3+l3x4)α3+x4α5=0． 由r(Ⅲ)=4，知α1，α2，α3，α5线性无关，从而 [*] (3)同前，设α4=l1α1+l2α2+l3α3，构造矩阵(α1，α2，α3，α5)作初等列变换． (α1，α2，α3，α5)[*](α1，α2，α3，α5+l1α1+l2α2+l3α3)， 即(α1，α2，α3，α5)[*](α1，α2，α3，α5+α4)．由于初等变换不改变秩，故 r(α1，α2，α3，α5+α4)=r(α1，α2，α3，α5)=4．
解析 由于r(Ⅰ)=3，得α1，α2，α3线性无关，那么向量组α1，α2，α3，α4+α5的秩至少是3，能否是4？关键就看α4+α5能否用α1，α2，α3线性表出，或者看向量组α1，α2，α3，α4+α5是线性相关还是线性无关．
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考研数学三

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