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  3. 设α1，α2，…，αn为n个线性无关的n维向量，且与向量β正交．证明：向量β为零向量．

设α1，α2，…，αn为n个线性无关的n维向量，且与向量β正交．证明：向量β为零向量．

admin2021-11-15  17
问题 设α1，α2，…，αn为n个线性无关的n维向量，且与向量β正交．证明：向量β为零向量．
选项
答案方法一 令A=[*]，因为α1，α2，…，αn与β正交，所以Aβ=0，即β为方程组AX=0的解，而α1，α2，…，αn线性无关，所以r(A)=n，从而方程组AX=0只有零解，即β=0． 方法二 (反证法)不妨设β≠0，令正k1α1+k2α2+…+knαn+k0β=0，上式两边左乘βT得k1βTα1+k2βTα2+…+knβTαn+k0βTβ=0， 因为α1，α2，…，αn与β正交，所以是k0βTβ=0，即k0|β|2=0，从而k0=0，于是k1α1+k2α2+…+knαn=0，再由α1，α2，…，αn线性无关，得k1=k2=…=kn=0，故α1，α2，…，αn，β线性无关，矛盾(因为当向量的个数大于向量的维数时向量组一定线性相关)，所以β=0．
解析
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考研数学二

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