设α1，α2，…，αn为n个线性无关的n维向量，且与向量β正交．证明：向量β为零向量．

admin2021-11-15 21

问题设α₁，α₂，…，α_n为n个线性无关的n维向量，且与向量β正交．证明：向量β为零向量．

选项

答案方法一令A=[*]，因为α₁，α₂，…，α_n与β正交，所以Aβ=0，即β为方程组AX=0的解，而α₁，α₂，…，α_n线性无关，所以r(A)=n，从而方程组AX=0只有零解，即β=0．方法二 (反证法)不妨设β≠0，令正k₁α₁+k₂α₂+…+k_nα_n+k₀β=0，上式两边左乘β^T得k₁β_Tα₁+k₂β_Tα₂+…+k_nβ_Tα_n+k₀β_Tβ=0，因为α₁，α₂，…，α_n与β正交，所以是k₀β^Tβ=0，即k₀|β|²=0，从而k₀=0，于是k₁α₁+k₂α₂+…+k_nα_n=0，再由α₁，α₂，…，α_n线性无关，得k₁=k₂=…=k_n=0，故α₁，α₂，…，α_n，β线性无关，矛盾(因为当向量的个数大于向量的维数时向量组一定线性相关)，所以β=0．

解析

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考研数学二

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设α1，α2，…，αn为n个线性无关的n维向量，且与向量β正交．证明：向量β为零向量．

考研数学二

设函数f(x,y,z)一阶连续可偏导且满足f(tx,ty,tz)=tkf(x,y,z)。证明：.

证明：r(A)=r(ATA).

设A为n阶矩阵，A11≠0.证明：非齐次线性方程组AX=b有无穷多个解的充分必要条件是A*b=0.

设η为非零向量，,η为方程组AX=0的解，则a=,方程组的通解为_.

设n阶矩阵A的伴随矩阵A*≠O,且非齐次线性方程组AX=b有两个不同解η1,η2,则下列命题正确的是（）。

设A为n阶矩阵，若Ak-1a≠0,而Aka=0.证明：向量组a,Aa,...,Ak-1a线性无关。

设,则a1,a2,a3,a4的一个极大线性无关组为,其余的向量用极大线性无关组表示为_.

设A是三阶矩阵，a1,a2,a3为三个三维线性无关的列向量，且满足Aa1=a2+a3，Aa2=a1+a3,Aa3=a1+a2.判断矩阵A可否对角化。

设四阶矩阵A＝(α1，α2，α3，α4)，方程组Ax＝B的通解为(1，2，2，1)T＋c(1，﹣2，4，0)T，c为任意常数。记B＝(α3，α2，α1，β－α4)，求Bx＝α1－α2的通解。

微分方程dy/dx=y/(x+y4)的通解是．

财政支持农业农村发展的意义体现在()。

下列哪项是轻症急性胰腺炎治疗的最根本措施

男，35岁。左颌下区被拳击伤，随即伤区出现肿胀、淤斑；扪诊有波动感，张口度及咬合关系正常

在突发事件发生期间，扰乱社会秩序、市场秩序的，应当

下列关于土地权属争议的解决方式，说法有误的是()。

统计指标按照其所反映的内容及其数值的表现形式，可以分为()。

下列关于太阳风的说法不正确的是()。

下面对于友元函数描述正确的是()。

设α1，α2，…，αn为n个线性无关的n维向量，且与向量β正交．证明：向量β为零向量．

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证明：r(A)=r(ATA).

设A为n阶矩阵，A11≠0.证明：非齐次线性方程组AX=b有无穷多个解的充分必要条件是A*b=0.

设η为非零向量，,η为方程组AX=0的解，则a=______,方程组的通解为_______.

设n阶矩阵A的伴随矩阵A*≠O,且非齐次线性方程组AX=b有两个不同解η1,η2,则下列命题正确的是（）。

设A为n阶矩阵，若Ak-1a≠0,而Aka=0.证明：向量组a,Aa,...,Ak-1a线性无关。

设,则a1,a2,a3,a4的一个极大线性无关组为______,其余的向量用极大线性无关组表示为_______.

设A是三阶矩阵，a1,a2,a3为三个三维线性无关的列向量，且满足Aa1=a2+a3，Aa2=a1+a3,Aa3=a1+a2.判断矩阵A可否对角化。

设四阶矩阵A＝(α1，α2，α3，α4)，方程组Ax＝B的通解为(1，2，2，1)T＋c(1，﹣2，4，0)T，c为任意常数。记B＝(α3，α2，α1，β－α4)，求Bx＝α1－α2的通解。

微分方程dy/dx=y/(x+y4)的通解是．

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在突发事件发生期间，扰乱社会秩序、市场秩序的，应当

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下列关于太阳风的说法不正确的是()。

下面对于友元函数描述正确的是()。

设η为非零向量，,η为方程组AX=0的解，则a=,方程组的通解为_.

设,则a1,a2,a3,a4的一个极大线性无关组为,其余的向量用极大线性无关组表示为_.