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设离散型二维随机变量(X,Y)的取值为(xi,yj)(i,j=1,2),且P{X=x2}=,P{Y=y1|X=x2} =,P{X=x1|Y=y1}=,试求: (Ⅰ)二维随机变量(X,Y)的联合概率分布; (Ⅱ)X与Y的相关系数ρxy;
设离散型二维随机变量(X,Y)的取值为(xi,yj)(i,j=1,2),且P{X=x2}=,P{Y=y1|X=x2} =,P{X=x1|Y=y1}=,试求: (Ⅰ)二维随机变量(X,Y)的联合概率分布; (Ⅱ)X与Y的相关系数ρxy;
admin
2015-05-07
63
问题
设离散型二维随机变量(X,Y)的取值为(x
i
,y
j
)(i,j=1,2),且P{X=x
2
}=
,P{Y=y
1
|X=x
2
} =
,P{X=x
1
|Y=y
1
}=
,试求:
(Ⅰ)二维随机变量(X,Y)的联合概率分布;
(Ⅱ)X与Y的相关系数ρ
xy
;
(Ⅲ)条件概率P{Y=y
j
|X=x
1
},j=1,2.
选项
答案
依题意,随机变量X与Y的可能取值分别为x
1
,x
2
与y
1
,y
2
,且 P{X=x
1
}=1-P{X=x
2
}=1-[*]=1/4 又题设 P{X=x
1
|Y=y
1
}=1/4, 于是有P{X=x
1
|Y=y
1
}=P{X=x
1
}, 即事件{X=x
1
}与事件{Y=y
1
}相互独立,因而{X=x
1
}的对立事件{X=x
2
}与{Y=y
1
}独立,且{X=x
1
}与{Y=y
1
}的对立事件{Y=y
2
}独立;{X=x
2
}与{Y=y
2
}独立,即X与Y相互独立. (Ⅰ)因x与y独立,所以有 P{Y=y
1
}=P{Y=y
1
|X=x
2
}=2/3; P{Y=y
2
}=1-P{Y=y
1
}=1/3; P{X=x
1
,Y=y
1
}=P{X=x
1
}P{Y=y
1
}=[*]; P{X=x
1
,Y=y
2
}=P{X=x
1
}P{Y=y
2
}=[*]; P{X=x
2
,Y=y
1
}=P{X=x
2
}P{Y=y
1
}=[*]; P{X=x
2
,Y=y
2
}=P{X=x
2
}P{Y=y
2
}=[*]; 或P{X=x
2
,Y=y
2
}=1-[*]; 于是(X,Y)的联合概率分布为 [*] (Ⅱ)由(Ⅰ)知X与Y独立,因此它们的相关系数ρ
XY
=0. (Ⅲ)因X与Y独立,所以P{Y=y
j
|X=x
1
}=P{Y=y
j
},j=1,2,于是有 P{Y=y
1
|X=x
1
}=P{Y=y
1
}=2/3, P{Y=y
2
|X=x
1
=P{Y=y
2
}1/3.
解析
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考研数学一
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