设随机变量(X,Y)的概率密度为 (Ⅰ)求条件概率密度fY|X(y|x); (Ⅱ)求随机变量Z=X-Y,的概率密度fZ(z)。

admin2019-01-25  37

问题 设随机变量(X,Y)的概率密度为

(Ⅰ)求条件概率密度fY|X(y|x);
(Ⅱ)求随机变量Z=X-Y,的概率密度fZ(z)。

选项

答案(Ⅰ)首先求X的边缘概率密度函数, [*] 因此可得条件概率密度为 [*] (Ⅱ)设Z的分布函数为FZ(z),则 [*] 其中DZ={(x,y)|x-y≤z},表示直线x-y=z的斜上方区域。 根据区域DZ={(x,y)|x-y≤z}和D={(x,y)|0<x<1,0<y<x}的相对位置可得: 当z<0时,[*] 当0≤z<1时,FZ(z)的积分区域可分为两部分,一个三角形区域加一个平行四边形区域,则此时有 [*] 当z≥1时,[*]。 可得其分布函数为 [*] 对分布函数求导可得密度函数为 [*]

解析 本题考查条件概率密度和随机变量函数的概率密度。第一问首先求出X的边缘概率密度,利用公式得出条件概率密度;第二问的X和Y不是相互独立的,所以可先求随机变量函数的分布函数,再求导得出密度函数。
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