2. 考研
  3. 设A为m×n矩阵，B为n×m矩阵，且m>n，则必有( )

设A为m×n矩阵，B为n×m矩阵，且m>n，则必有( )

admin2020-04-21  22
问题 设A为m×n矩阵，B为n×m矩阵，且m>n，则必有(    )
选项 A、|AB|=0。
B、|BA|=0。
C、|AB|=|BA|。
D、||BA|BA|=|BA||BA|。
答案A
解析 由于m＞n，根据矩阵秩的性质可得r(AB)≤r(A)≤n＜m，可知矩阵AB不满秩，因此A正确。
    由于BA是n阶矩阵，是否满秩无法确定，故不一定有|BA|=0，故B错误。
    由于A，B不为方阵，因此没有等式|AB|=|AB|=|BA|。事实上，由上面的讨论过程可知，当BA满秩时，有|AB|=0≠|BA|，故C错误。
    由||BA|BA|=|BA|n|BA|=|BA|n+1可知，等式||BA|BA|=|BA||BA|也不一定成立，故D错误。
    综上，唯一正确的选项是A。
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考研数学二

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