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[2004年] 某种飞机在机场降落时,为了减少滑行距离,在触地瞬间,飞机尾部张开降落伞以增大阻力使飞机迅速减速并停下. 现有一质量为9000 kg的飞机,着陆时的水平速度为700 km/h.经测试,减速伞打开后飞机所受的阻力与飞机的速度成正比(比例
[2004年] 某种飞机在机场降落时,为了减少滑行距离,在触地瞬间,飞机尾部张开降落伞以增大阻力使飞机迅速减速并停下. 现有一质量为9000 kg的飞机,着陆时的水平速度为700 km/h.经测试,减速伞打开后飞机所受的阻力与飞机的速度成正比(比例
admin
2019-05-10
58
问题
[2004年] 某种飞机在机场降落时,为了减少滑行距离,在触地瞬间,飞机尾部张开降落伞以增大阻力使飞机迅速减速并停下.
现有一质量为9000 kg的飞机,着陆时的水平速度为700 km/h.经测试,减速伞打开后飞机所受的阻力与飞机的速度成正比(比例系数k=6.0×10
6
).问从着陆点算起,飞机滑行的最大距离是多少?(注:kg表示千克,km/h表示千米/小时.)
选项
答案
利用牛顿第二定律建立微分方程求解.对飞机滑行的最长距离有下面三种理解,从而得到三种不同的求法. 解一 由题设知,飞机的质量为m=9000 kg,着陆时的水平速度v
0
=700 km/h,从飞机接触跑道开始记时,设t时刻飞机的滑行距离为x(t),速度为v(t). 一种理解是求飞机的最长距离就是求v(t)→0的距离,因而应求出x(t)与v(t)的关系式.根据牛顿第二定律,有 [*] 由式①、式②得dx=(一m/k)dv,积分得到x(t)=(一m/k)v+C.由于v(0)=v
0
,x(0)=0, 故C=mv
0
/k,从而x(t)=m[v
0
一v(t)]/k,令t→+∞,由[*]v(t)=0,即得 [*]x(t)=mv
0
/k=(9000×700)/(6×10
6
)=1.05(km), 亦即飞机滑行的最长距离为1.05 km. 解二 第二种理解是飞机滑行的最长距离为t→+∞时的距离,为此应求出x(t)与t的关系式.由牛顿第二定律得到 [*] 其特征方程为r
2
+(k/m)r=0.其特征根为r
1
=0,r
2
=一k/m,故x(t)=C
1
+C
2
e
-kt/m
.由 x(t)∣
t=0
=0,v(t)∣
t=0
=[*]=v
0
,得C
1
=一C
2
=mv
0
/k. 于是 x(t)=mv
0
(1一e
kt/m
)/k, ③ 则当t→+∞时,x(t)→mv
0
/k=1.05(km),即飞机滑行的最长距离为1.05 km.
解析
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考研数学二
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