(I)设A是对角矩阵，并且对角线上元素两两不相等．证明和A乘积可交换的一定是对角矩阵．(2)n阶矩阵C如果和任何n阶矩阵乘积可交换，则C必是数量矩阵．

admin2017-10-21 38

问题 (I)设A是对角矩阵，并且对角线上元素两两不相等．证明和A乘积可交换的一定是对角矩阵．(2)n阶矩阵C如果和任何n阶矩阵乘积可交换，则C必是数量矩阵．

选项

答案(1)设B和A乘积可交换，要证明B是对角矩阵，即要说明B的对角线外的元素b_ij(i≠j)都为0．设A的对角线元素为λ₁，λ₂，…，λ_n则Ab的(i，j)位元素为λ_ib_ij而BA的(i，j)位元素为λ_jb_ij．因为AB=BA，得λ_ib_ij=λ_jb_ij．因为λ_i≠λ_j，所以b_ij=0． (2)先说明C一定是对角矩阵．由于C与对角线上元素两两不相等的n阶对角矩阵乘积可交换，由(1)的结论得出C是对角矩阵．再说明C的对角线元素c₁₁，c₂₂，…，c_nn都相等．构造n阶矩阵A，使得其(i，j)位元素为1，i≠j． CA的(i，j)位元素为c_ii，AC的(i，j)位元素为c_jj．于是c_ii=c_jj．这里的i，j是任意的，从而c₁₁=c₂₂=…=c_nn．

解析

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考研数学三

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(I)设A是对角矩阵，并且对角线上元素两两不相等．证明和A乘积可交换的一定是对角矩阵．(2)n阶矩阵C如果和任何n阶矩阵乘积可交换，则C必是数量矩阵．

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设α1，α2，…，αm，β1，β2，…，βn线性无关，而向量组α1，α2，…，αm，γ线性相关．证明：向量γ可由向量组α1，α2，…，αm，β1，β2，…，βn线性表示．

设f(x)在[1，2]上连续，在(1，2)内可导，且f’(x)≠0，证明：存在ξ，η，ζ∈(1，2)，使得。

设f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且f(a)=f(b)=0，证明：(1)存在ξ∈(a，b)，使得f’(ξ)=2ξf(ξ)．(2)存在η∈(a，b)，使得nf’(η)+f(η)=0．

由方程确定的隐函数z=z(x，y)在点(1，0，一1)处的微分为dz=__________。

设，则α1，α2，α3经过施密特正交规范化后的向量组为

设为A的特征向量，求A的特征值λ及a，b，c和A对应的特征值μ．

设的逆矩阵A—1的特征向量．求x，y，并求A—1对应的特征值μ．

设A为n阶非零矩阵，且存在自然数k，使得Ak=0．证明：A不可以对角化．

设向量组α1，α2，…，αs为齐次线性方程组AX=0的一个基础解系，AB≠0．证明：齐次线性方程组BY=0有零解，其中B=(β，β+α1，…，β+αs)．

设A是n阶矩阵，λ是A的特征值，其对应的特征向量为X，证明：λ2是A2的特征值，X为特征向量．若A2有特征值λ，其对应的特征向量为X，X是否一定为A的特征向量?说明理由．

荷载效应的标准组合适用于

设计合同履行过程中，发包人的责任包括()。

反映企业一定经营期间经营成果的动态会计等式是(　　)。

设计关系模式时，派生属性不会作为关系中的属性来存储。员工(工号，姓名，性别，出生日期，年龄)关系中，派生属性是______。

Windows2003对已备份文件在备份后不做标记的备份方法是()。

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Wearerapidlyneartheendofthiscourseinthehistoryof【B1】______music.Wehavecoveredseveralcenturiesinaveryshort

A、Theautomationmeansfewerjobs.B、Theautomationreferstonomorehumanjobs.C、Kidscanusegamesasthelearningtools.D、

(I)设A是对角矩阵，并且对角线上元素两两不相等．证明和A乘积可交换的一定是对角矩阵．(2)n阶矩阵C如果和任何n阶矩阵乘积可交换，则C必是数量矩阵．

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设f(x)在[1，2]上连续，在(1，2)内可导，且f’(x)≠0，证明：存在ξ，η，ζ∈(1，2)，使得。

设f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且f(a)=f(b)=0，证明：(1)存在ξ∈(a，b)，使得f’(ξ)=2ξf(ξ)．(2)存在η∈(a，b)，使得nf’(η)+f(η)=0．

由方程确定的隐函数z=z(x，y)在点(1，0，一1)处的微分为dz=__________。

设，则α1，α2，α3经过施密特正交规范化后的向量组为

设为A*的特征向量，求A*的特征值λ及a，b，c和A对应的特征值μ．

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设A是n阶矩阵，λ是A的特征值，其对应的特征向量为X，证明：λ2是A2的特征值，X为特征向量．若A2有特征值λ，其对应的特征向量为X，X是否一定为A的特征向量?说明理由．

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设为A的特征向量，求A的特征值λ及a，b，c和A对应的特征值μ．

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