设A是任一n(n≥3)阶方阵,A*是其伴随矩阵,又k为常数,且k≠0,±1,则必有(kA)*等于

admin2014-01-26  31

问题 设A是任一n(n≥3)阶方阵,A*是其伴随矩阵,又k为常数,且k≠0,±1,则必有(kA)*等于

选项 A、kA*.   
B、kn-1A*.   
C、knA*.   
D、k-1A*.   

答案B

解析 [分析]  利用伴随矩阵的定义讨论即可.若加强条件,则可令A可逆.
    [详解1]  采用加强条件的技巧,设A可逆,则由
    AA*=A*A=|A|E,
知    A*=|A|A-1
    于是(kA)*=|kA|(kA)-1=kn=kn-1|A|A-1=kn-1A*
    故应选(B).
    题设k≠0,±1,n≥3,主要是为了做到四个选项只有一个是正确的.
    [详解2]  由A*的定义,设A=(aij)n×n,其元素aij的代数余子式记作Aij,则矩阵kA=(kaij)n×n,若其元素的代数余子式记作△ij(i,j=1,2,…,n),由行列式性质有△ij=kn-1Aij(i,j=1,2,…,n).从而(kA)*=kn-1A*
    [评注]  涉及与A*有关的题目,一般利用A*的定义和公式AA*=|A|E.
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