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设A是任一n(n≥3)阶方阵,A*是其伴随矩阵,又k为常数,且k≠0,±1,则必有(kA)*等于
设A是任一n(n≥3)阶方阵,A*是其伴随矩阵,又k为常数,且k≠0,±1,则必有(kA)*等于
admin
2014-01-26
64
问题
设A是任一n(n≥3)阶方阵,A
*
是其伴随矩阵,又k为常数,且k≠0,±1,则必有(kA)
*
等于
选项
A、kA
*
.
B、k
n-1
A
*
.
C、k
n
A
*
.
D、k
-1
A
*
.
答案
B
解析
[分析] 利用伴随矩阵的定义讨论即可.若加强条件,则可令A可逆.
[详解1] 采用加强条件的技巧,设A可逆,则由
AA
*
=A
*
A=|A|E,
知 A
*
=|A|A
-1
,
于是(kA)
*
=|kA|(kA)
-1
=k
n
|
=k
n-1
|A|A
-1
=k
n-1
A
*
.
故应选(B).
题设k≠0,±1,n≥3,主要是为了做到四个选项只有一个是正确的.
[详解2] 由A
*
的定义,设A=(a
ij
)
n×n
,其元素a
ij
的代数余子式记作A
ij
,则矩阵kA=(ka
ij
)
n×n
,若其元素的代数余子式记作△
ij
(i,j=1,2,…,n),由行列式性质有△
ij
=k
n-1
A
ij
(i,j=1,2,…,n).从而(kA)
*
=k
n-1
A
*
.
[评注] 涉及与A
*
有关的题目,一般利用A
*
的定义和公式AA
*
=|A|E.
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考研数学二
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