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  3. 设A是任一n(n≥3)阶方阵，A*是其伴随矩阵，又k为常数，且k≠0，±1，则必有(kA)*等于

设A是任一n(n≥3)阶方阵，A*是其伴随矩阵，又k为常数，且k≠0，±1，则必有(kA)*等于

admin2014-01-26  45
问题 设A是任一n(n≥3)阶方阵，A*是其伴随矩阵，又k为常数，且k≠0，±1，则必有(kA)*等于
选项 A、kA*．   
B、kn－1A*．   
C、knA*．   
D、k－1A*．   
答案B
解析 [分析]  利用伴随矩阵的定义讨论即可．若加强条件，则可令A可逆．
    [详解1]  采用加强条件的技巧，设A可逆，则由
    AA*＝A*A＝｜A｜E，
知    A*＝｜A｜A－1，
    于是(kA)*＝｜kA｜(kA)－1＝kn｜＝kn－1｜A｜A－1＝kn－1A*．
    故应选(B)．
    题设k≠0，±1，n≥3，主要是为了做到四个选项只有一个是正确的．
    [详解2]  由A*的定义，设A＝(aij)n×n，其元素aij的代数余子式记作Aij，则矩阵kA＝(kaij)n×n，若其元素的代数余子式记作△ij(i，j＝1，2，…，n)，由行列式性质有△ij＝kn－1Aij(i，j＝1，2，…，n)．从而(kA)*＝kn－1A*．
    [评注]  涉及与A*有关的题目，一般利用A*的定义和公式AA*＝｜A｜E．
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考研数学二

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