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(1999年)设函数y(x)(x≥O)二阶可导且y’(x)>0,y(0)=1,过曲线y=y(x)上任意一点P(x,y)作该曲线的切线及x轴的垂线,上述两直线与x轴所围成的三角形的面积记为S1,区间[0,x]上以y=y(x)为曲边的曲边梯形面积记为S2,并设
(1999年)设函数y(x)(x≥O)二阶可导且y’(x)>0,y(0)=1,过曲线y=y(x)上任意一点P(x,y)作该曲线的切线及x轴的垂线,上述两直线与x轴所围成的三角形的面积记为S1,区间[0,x]上以y=y(x)为曲边的曲边梯形面积记为S2,并设
admin
2021-01-15
22
问题
(1999年)设函数y(x)(x≥O)二阶可导且y’(x)>0,y(0)=1,过曲线y=y(x)上任意一点P(x,y)作该曲线的切线及x轴的垂线,上述两直线与x轴所围成的三角形的面积记为S
1
,区间[0,x]上以y=y(x)为曲边的曲边梯形面积记为S
2
,并设2S
1
一S
2
恒为1,求此曲线y=y(x)的方程.
选项
答案
曲线y=y(x)上点P(x,y)处的切线方程为 Y—y=y’(x)(X-x) 它与x轴的交点为[*]由于y’(x)>0,y(0)=1,从而y(x)>0,于是 [*] 又 [*] 由条件2S
1
一S
2
=1知 [*] 两边对x求导并化简得 yy"=(y’)
2
令P=3y’,则上述方程可化为 [*] 从而 [*] 解得P=C
1
y,即 [*] 于是 [*] 注意到y(0)=1,并由(*)式知y’(0)=1,从而可知C
1
=1,C
2
=0.故所求曲线的方程是 y=e
x
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/psq4777K
0
考研数学一
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