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利用代换将方程y’’cosx一2y’sinx+3ycosx=ex化简，并求出原方程的通解。
利用代换将方程y’’cosx一2y’sinx+3ycosx=ex化简，并求出原方程的通解。
admin
2018-12-19
34
问题
利用代换
将方程y’’cosx一2y’sinx+3ycosx=e
x
化简，并求出原方程的通解。
选项
答案
由[*]，得 y’=u’secx+usecxtanx， y’’=u’’secx+2u’secxtanx+u(sectan
2
x+sec
3
x)， 代入原方程y’’cosx一2y’sinx+3ycosx=e
x
，得 u’’+4u=e
x
。 (*) 先求其相应齐次方程的通解。由于其特征方程为λ
2
+4=0，则特征方程的根为λ=±2i。所以通解为[*]=C
1
cos2x+C
2
sin2x(C
1
，C
2
为任意常数)。 再求非齐次方程的特解。设其特解为u
*
(x)=Ae
x
，代入(*)式，得 (Ae
x
)
*
+4Ae
x
=Ae
x
+4Ae
x
=5Ae
x
=e
x
， 解得A=[*]，因此u
*
(x)=[*]e
x
。 故(*)的通解为 u(x)=C
1
cos2x+C
2
sin2x+[*]e
x
(C
1
，C
2
为任意常数)。 所以，原微分方程的通解为 [*]
解析
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0
考研数学二
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