2. 考研
  3. 求证：f(x，y)=Ax2+2Bxy+Cy2在约束条件g(x,y)=下有最大值和最小值，且它们是方程k2一(Aa2+Cb2)k+(AC—B2)a2b2=0的根．

求证：f(x，y)=Ax2+2Bxy+Cy2在约束条件g(x,y)=下有最大值和最小值，且它们是方程k2一(Aa2+Cb2)k+(AC—B2)a2b2=0的根．

admin2018-11-11  33
问题 求证：f(x，y)=Ax2+2Bxy+Cy2在约束条件g(x,y)=下有最大值和最小值，且它们是方程k2一(Aa2+Cb2)k+(AC—B2)a2b2=0的根．
选项
答案因为f(x，y)在全平面连续，[*]为有界闭区域，故f(x，y)在此约束条件下必有最大值和最小值． 设(x1，y1)，(x2，y2)分别为最大值点和最小值点，令[*] 则(x1，y1)，(x2，y2)应满足方程 [*] 记相应乘子为λ1，λ2，则(x1，y1，λ1)满足[*] 解得λ1=Ax12+2Bx1y1+Cy12同理λ2=Ax22+2Bx2y2+Cy22． 即λ1，λ2是f(x，y)在椭圆[*]上的最大值和最小值． 又方程组①和②有非零解，系数行列式为0，即[*] 化简得 λ2一(Aa2+Cb2)λ+(AC—B2)a2b2=0， 所以λ1，λ2是上述方程(即题目所给方程)的根．
解析
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考研数学二

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