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求证:f(x,y)=Ax2+2Bxy+Cy2在约束条件g(x,y)=下有最大值和最小值,且它们是方程k2一(Aa2+Cb2)k+(AC—B2)a2b2=0的根.
求证:f(x,y)=Ax2+2Bxy+Cy2在约束条件g(x,y)=下有最大值和最小值,且它们是方程k2一(Aa2+Cb2)k+(AC—B2)a2b2=0的根.
admin
2018-11-11
46
问题
求证:f(x,y)=Ax
2
+2Bxy+Cy
2
在约束条件g(x,y)=
下有最大值和最小值,且它们是方程k
2
一(Aa
2
+Cb
2
)k+(AC—B
2
)a
2
b
2
=0的根.
选项
答案
因为f(x,y)在全平面连续,[*]为有界闭区域,故f(x,y)在此约束条件下必有最大值和最小值. 设(x
1
,y
1
),(x
2
,y
2
)分别为最大值点和最小值点,令[*] 则(x
1
,y
1
),(x
2
,y
2
)应满足方程 [*] 记相应乘子为λ
1
,λ
2
,则(x
1
,y
1
,λ
1
)满足[*] 解得λ
1
=Ax
1
2
+2Bx
1
y
1
+Cy
1
2
同理λ
2
=Ax
2
2
+2Bx
2
y
2
+Cy
2
2
. 即λ
1
,λ
2
是f(x,y)在椭圆[*]上的最大值和最小值. 又方程组①和②有非零解,系数行列式为0,即[*] 化简得 λ
2
一(Aa
2
+Cb
2
)λ+(AC—B
2
)a
2
b
2
=0, 所以λ
1
,λ
2
是上述方程(即题目所给方程)的根.
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/pxj4777K
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考研数学二
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