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求证：f(x，y)=Ax2+2Bxy+Cy2在约束条件g(x,y)=下有最大值和最小值，且它们是方程k2一(Aa2+Cb2)k+(AC—B2)a2b2=0的根．
求证：f(x，y)=Ax2+2Bxy+Cy2在约束条件g(x,y)=下有最大值和最小值，且它们是方程k2一(Aa2+Cb2)k+(AC—B2)a2b2=0的根．
admin
2018-11-11
43
问题
求证：f(x，y)=Ax
2
+2Bxy+Cy
2
在约束条件g(x,y)=
下有最大值和最小值，且它们是方程k
2
一(Aa
2
+Cb
2
)k+(AC—B
2
)a
2
b
2
=0的根．
选项
答案
因为f(x，y)在全平面连续，[*]为有界闭区域，故f(x，y)在此约束条件下必有最大值和最小值． 设(x
1
，y
1
)，(x
2
，y
2
)分别为最大值点和最小值点，令[*] 则(x
1
，y
1
)，(x
2
，y
2
)应满足方程 [*] 记相应乘子为λ
1
，λ
2
，则(x
1
，y
1
，λ
1
)满足[*] 解得λ
1
=Ax
1
2
+2Bx
1
y
1
+Cy
1
2
同理λ
2
=Ax
2
2
+2Bx
2
y
2
+Cy
2
2
． 即λ
1
，λ
2
是f(x，y)在椭圆[*]上的最大值和最小值． 又方程组①和②有非零解，系数行列式为0，即[*] 化简得 λ
2
一(Aa
2
+Cb
2
)λ+(AC—B
2
)a
2
b
2
=0， 所以λ
1
，λ
2
是上述方程(即题目所给方程)的根．
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/pxj4777K
0
考研数学二
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