求函数z=x4+y4一x2一2xy—y2的极值．

admin2016-01-11 71

问题求函数z=x⁴+y⁴一x²一2xy—y²的极值．

选项

答案 [*] 因此函数的驻点为(1，1)，(一1，一1)，(0，0)．在(1，1)处，A=10＞0，B=-2，C=10＞0，AC—B²=96＞0，故(1，1)是极小值点，z(1，1)=一2是函数的极小值．在(一1，一1)处，A=10＞0，B=-2，C=10＞0，AC—B²=96＞0，故(一1，一1)是极小值点，z(一1，一1)=一2是函数的极小值．在(0，0)处，A=一2，B=一2，C=一2，AC-B²=0，无法用函数取极值的充分条件判断，需用函数极值的定义判断．将函数改写成z=x⁴+y⁴-(x+y)²，则易知：在点(0，0)的充分小的去心邻域内，若点(x，y)位于y=一x上，则z=2x⁴＞0=f(0，0)；若点(x,y)位于x=0上，则z=y²(y²-1)＜0=f(0，0)．故(0，0)不是函数的极值点．总之，函数的极小值为一2，没有极大值．

解析

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考研数学二

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