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  3. 设α1，α2，…，αk(k＞n)是Rn中k个线性无关的列向量，证明：存在行阶满秩方阵P，使得P以α1，α2，…，αk为其前k列．

设α1，α2，…，αk(k＞n)是Rn中k个线性无关的列向量，证明：存在行阶满秩方阵P，使得P以α1，α2，…，αk为其前k列．

admin2021-01-15  13
问题 设α1，α2，…，αk(k＞n)是Rn中k个线性无关的列向量，证明：存在行阶满秩方阵P，使得P以α1，α2，…，αk为其前k列．
选项
答案取齐次线性方程组[*]=0的基础解系ξ1，…，ξn—k，则可证α1，…，αn—k，ξ1，…，ξn—k线性无关：设λ1α1+…+λkαk+μ1ξ1+…+μn—kξn—k=0，两端左乘(λ1α1+…+λkαk)T，并利用αiTξj=0，得‖λ1α1+…+λkαk‖2=0，→λ1α1+…+λkαk=0，而α1，…，αn—k线性无关，故有λ1=…=λn—k=0，→μ1ξ1+…+μn—kξn—k=0，又ξ1，…，ξn—k线性无关，故有μ1=…=μn—k=0，于是证得α1，…，αn—k，ξ1，…，ξn—k线性无关，令P=[α1 … αn—k ξ1 … ξn—k]，则P为满秩方阵．
解析
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考研数学一

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