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已知二次型 f(x1,x2,…,xn)=(x1+a1x2)2+(x2+a2x3)2+…+(xn+anx1)2. a1,a2,…,an满足什么条件时f(x1,x2,…,xn)正定?
已知二次型 f(x1,x2,…,xn)=(x1+a1x2)2+(x2+a2x3)2+…+(xn+anx1)2. a1,a2,…,an满足什么条件时f(x1,x2,…,xn)正定?
admin
2021-11-09
53
问题
已知二次型
f(x
1
,x
2
,…,x
n
)=(x
1
+a
1
x
2
)
2
+(x
2
+a
2
x
3
)
2
+…+(x
n
+a
n
x
1
)
2
.
a
1
,a
2
,…,a
n
满足什么条件时f(x
1
,x
2
,…,x
n
)正定?
选项
答案
记y
1
=x
1
+a
1
x
2
,y
2
=x
2
+a
2
x
3
,…,y
n
=x
n
+a
n
x
1
,则 [*] 简记为Y=AX. 则f(x
1
,x
2
,…,x
n
)=Y
T
Y=X
T
A
T
AX.于是,实对称矩阵A
T
A就是f(x
1
,x
2
,…,x
n
)的矩阵.从而f正定就是A
T
A正定. A
T
A正定的充要条件是A可逆.计算出|A|=1+(-1)
n-1
a
1
a
2
…a
n
.于是,f正定的充要条件为a
1
a
2
…a
n
≠(-1)
n
.
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/q5y4777K
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考研数学二
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