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(I)证明以柯西一施瓦茨(Cauchy-Schwarz)命名的下述不等式:设f(x)与g(x)在闭区间[a,b]上连续,则有 [∫abf(x)g(x)dx]2≤∫abf2(x)dx∫abg2(x)dx; (Ⅱ)证明下述不等式:设f(x)在闭区间[0,1]上
(I)证明以柯西一施瓦茨(Cauchy-Schwarz)命名的下述不等式:设f(x)与g(x)在闭区间[a,b]上连续,则有 [∫abf(x)g(x)dx]2≤∫abf2(x)dx∫abg2(x)dx; (Ⅱ)证明下述不等式:设f(x)在闭区间[0,1]上
admin
2018-12-21
42
问题
(I)证明以柯西一施瓦茨(Cauchy-Schwarz)命名的下述不等式:设f(x)与g(x)在闭区间[a,b]上连续,则有
[∫
a
b
f(x)g(x)dx]
2
≤∫
a
b
f
2
(x)dx∫
a
b
g
2
(x)dx;
(Ⅱ)证明下述不等式:设f(x)在闭区间[0,1]上连续,则有
[∫
0
1
f(x)dx]
2
≤∫
0
1
f
2
(x)dx.
选项
答案
(I)令φ(x)=[∫
a
x
f(t)g(t)dt]
2
-∫
a
x
f
2
(t)dt∫
a
x
g
2
(t)dt,有φ(a)=0及 φ
’
=2∫
a
x
f(t)g(t)·f(x)g(x)-f
2
(x)∫
a
x
g
2
(t)dt -g
2
(x)∫
a
x
f
2
(t)dt =-∫
a
x
[f
2
(x)g
2
(t)-2f(t)g(t)f(x)g(x)﹢g
2
(x)f
2
(t)]dt =-∫
a
x
[f(x)g(t)-g(x)f(t)]
2
dt≤0,x≥a. 所以当x≥a时,φ(x)≤0.令x=b,得 [∫
a
b
f(t)g(t)]
2
≤∫
a
b
f
2
(t)dt∫
a
b
g
2
(t)dt. 证毕. (Ⅱ)令a=0,b=1,g(x)=1,代入(I)中已证的不等式,有 [∫
0
1
f(t)dt]
3
≤∫
0
1
f
2
(t)dt∫
0
1
dt=∫
0
1
f
2
(t)dt. 即[∫
0
1
f(x)dx]
2
≤∫
0
1
f
2
(x)dx.证毕.
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/q8j4777K
0
考研数学二
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