2. 考研
  3. (I)证明以柯西一施瓦茨(Cauchy－Schwarz)命名的下述不等式：设f(x)与g(x)在闭区间[a，b]上连续，则有 [∫abf(x)g(x)dx]2≤∫abf2(x)dx∫abg2(x)dx； (Ⅱ)证明下述不等式：设f(x)在闭区间[0，1]上

(I)证明以柯西一施瓦茨(Cauchy－Schwarz)命名的下述不等式：设f(x)与g(x)在闭区间[a，b]上连续，则有 [∫abf(x)g(x)dx]2≤∫abf2(x)dx∫abg2(x)dx； (Ⅱ)证明下述不等式：设f(x)在闭区间[0，1]上

admin2018-12-21  42
问题 (I)证明以柯西一施瓦茨(Cauchy－Schwarz)命名的下述不等式：设f(x)与g(x)在闭区间[a，b]上连续，则有
[∫abf(x)g(x)dx]2≤∫abf2(x)dx∫abg2(x)dx；
(Ⅱ)证明下述不等式：设f(x)在闭区间[0，1]上连续，则有
[∫01f(x)dx]2≤∫01f2(x)dx．
选项
答案(I)令φ(x)＝[∫axf(t)g(t)dt]2－∫axf2(t)dt∫axg2(t)dt，有φ(a)＝0及 φ’＝2∫axf(t)g(t)·f(x)g(x)－f2(x)∫axg2(t)dt －g2(x)∫axf2(t)dt ＝－∫ax[f2(x)g2(t)－2f(t)g(t)f(x)g(x)﹢g2(x)f2(t)]dt ＝－∫ax[f(x)g(t)－g(x)f(t)]2dt≤0，x≥a． 所以当x≥a时，φ(x)≤0．令x＝b，得 [∫abf(t)g(t)]2≤∫abf2(t)dt∫abg2(t)dt． 证毕． (Ⅱ)令a＝0，b＝1，g(x)＝1，代入(I)中已证的不等式，有 [∫01f(t)dt]3≤∫01f2(t)dt∫01dt＝∫01f2(t)dt． 即[∫01f(x)dx]2≤∫01f2(x)dx．证毕．
解析
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考研数学二

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