设A，B均为n阶矩阵，A可逆，且A～B，则下列命题中 ①AB～BA； ②A2～B2； ③AT～BT； ④A-1～B-1 正确的个数为( )

admin2019-01-19 71

问题设A，B均为n阶矩阵，A可逆，且A～B，则下列命题中
①AB～BA； ②A²～B²； ③A^T～B^T； ④A^-1～B^-1
正确的个数为( )

选项 A、1。
B、2。
C、3。
D、4。

答案D

解析因A～B，可知存在可逆矩阵P，使得P^-1AP=B，于是
P^-1A²P=B²，P^TA^T(P^T)^-1=B^T，P^-1A^-1P=B^-1，
故 A～B²，A^T～B^T，A^-1～B^-1。
又由于A可逆，可知A^-1(AB)A=BA，即AB～BA。因此正确的命题有四个，故选D。

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考研数学三

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