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  3. (2000年)设函数f(x)在[0，π]上连续，且试证：在(0，π)内至少存在两个不同的点ξ1，ξ2，使f(ξ1)=f(ξ2)=0。

(2000年)设函数f(x)在[0，π]上连续，且试证：在(0，π)内至少存在两个不同的点ξ1，ξ2，使f(ξ1)=f(ξ2)=0。

admin2021-01-15  16
问题 (2000年)设函数f(x)在[0，π]上连续，且试证：在(0，π)内至少存在两个不同的点ξ1，ξ2，使f(ξ1)=f(ξ2)=0。
选项
答案方法一：令[*]有F(0)=0，由题设有F(π)=0。 又由题设[*]用分部积分，有 [*] 由[*]可知，必存在一个ξ∈(0，π)，使得F(ξ)sinξ=0成立，否则，在(0，π)内F(x)sinx恒为正或恒为负，这与[*]矛盾。 因为ξ∈(0，π)，sinξ≠0，所以存在ξ∈(0，π)，使得F(ξ)=0。再在区间[0，ξ]与[ξ，π]上对F(x)用罗尔定理，推知存在ξ1∈(0，ξ)，ξ2∈(ξ，π)使F′(ξ1)=0，F′(ξ2)=0，即f(ξ1)=0，f(ξ2)=0。 方法二：令[*]可知F(0)=F(π)=0，则由罗尔定理可得：存在ξ1∈(0，π)，使f(ξ1)一0。 若在区间(0，π)内f(x)仅有一个零点ξ1，则在区间(0，ξ1)与(ξ1，π)内f(x)异号。不妨设在(0，ξ1) 内f(x)＞0，在(ξ1，π)内f(x)＜0。于是由[*]有 [*] 当0＜x＜ξ1时，cosx＞cosξ1，f(x)(cosx—cosξ1)＞0；当ξ1＜x＜π时，cosx1，仍有 F(x)(cosx—cosξ1)＞0，得到：0＞0。矛盾，此矛盾证明了f(x)在(0，π)仅有一个零点的假设不正确，故在(0，π)内f(x)至少有两个不同的零点。
解析
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考研数学一

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