设二次型f(x1，x2，x3)=2x12+ax22+2x32+2x1x2-2bx1x3+x2x3经过正交变换化为3y12+3y22。求a，b的值；

admin2017-01-16 61

问题设二次型f(x₁，x₂，x₃)=2x₁²+ax₂²+2x₃²+2x₁x₂-2bx₁x₃+x₂x₃经过正交变换化为3y₁²+3y₂²。
求a，b的值；

选项

答案令A=[*]，则f(x₁，x₂，x₃)=x^TAx，因为二次型经过正交变换化为了3y₁³+3y₂²。所以矩阵A的三个特征值分别为λ₁=3，λ₂=3，λ₃=0，根据矩阵特征值的和是矩阵的迹(对角元素的和)，特征值的乘积是矩阵行列式的值，即有 λ₁+λ₂+λ₃=4+a=6，得a=2， λ₁λ₂λ₃=|A|=-2(b+2)(b-1)=0，得b=-2或b=1。因为当b=-2时，A=[*]，因为|3E-A|=[*]=-9≠0，所以a=2，b=1。

解析

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考研数学一

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