2. 考研
  3. 设A为三阶实对称矩阵，λ1=8，λ2=λ3=2是其特征值．已知对应λ1=8的特征向量为α1=[1，k，1]T ，对应λ2=λ3=2的一个特征向量为α2=[一1，1，0]T．试求参数k及λ2=λ3=2的一个特征向量和矩阵A．

设A为三阶实对称矩阵，λ1=8，λ2=λ3=2是其特征值．已知对应λ1=8的特征向量为α1=[1，k，1]T ，对应λ2=λ3=2的一个特征向量为α2=[一1，1，0]T．试求参数k及λ2=λ3=2的一个特征向量和矩阵A．

admin2020-01-12  57
问题 设A为三阶实对称矩阵，λ1=8，λ2=λ3=2是其特征值．已知对应λ1=8的特征向量为α1=[1，k，1]T ，对应λ2=λ3=2的一个特征向量为α2=[一1，1，0]T．试求参数k及λ2=λ3=2的一个特征向量和矩阵A．
选项
答案因α1 ，α2是实对称矩阵A的属于不同特征值的特征向量，故有α1T ，α2=0，即 [*] 故有k=1，即α1=[1，1，1]T． 设λ2=λ3=2的属于A的另一特征向量为α3=[X1 ，X2 ，X3]T ，则α1Tα3=0．为保证α2 ，α3线 性无关，可进一步要求α1Tα3=0，这样有 [*] 得到基础解系为 [一1/2，一1/2，1]T． 为方便计，取 α3=[1，1，一2]T． 再由 A[α1 ，α2 ，α3]=[Aα1 ，Aα2 ，Aα3]=[λ1α1 ，λ2α2 ，λ3α3] 得 A=[λ1α1 ，λ2α2 ，λ3α3][α1 ，α2 ，α3]一1 [*]
解析 利用实对称矩阵特征向量的性质求之．
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考研数学三

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