设A为三阶实对称矩阵,λ1=8,λ2=λ3=2是其特征值.已知对应λ1=8的特征向量为α1=[1,k,1]T ,对应λ2=λ3=2的一个特征向量为α2=[一1,1,0]T.试求参数k及λ2=λ3=2的一个特征向量和矩阵A.

admin2020-01-12  45

问题 设A为三阶实对称矩阵,λ1=8,λ23=2是其特征值.已知对应λ1=8的特征向量为α1=[1,k,1]T ,对应λ23=2的一个特征向量为α2=[一1,1,0]T.试求参数k及λ23=2的一个特征向量和矩阵A.

选项

答案因α1 ,α2是实对称矩阵A的属于不同特征值的特征向量,故有α1T ,α2=0,即 [*] 故有k=1,即α1=[1,1,1]T. 设λ23=2的属于A的另一特征向量为α3=[X1 ,X2 ,X3]T ,则α1Tα3=0.为保证α2 ,α3线 性无关,可进一步要求α1Tα3=0,这样有 [*] 得到基础解系为 [一1/2,一1/2,1]T. 为方便计,取 α3=[1,1,一2]T. 再由 A[α1 ,α2 ,α3]=[Aα1 ,Aα2 ,Aα3]=[λ1α1 ,λ2α2 ,λ3α3] 得 A=[λ1α1 ,λ2α2 ,λ3α3][α1 ,α2 ,α3]一1 [*]

解析 利用实对称矩阵特征向量的性质求之.
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