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已知f(x)是周期为5的连续函数,它在x=0的某个邻域内满足关系式 f(1+sinx)-3f(1-sinx)=8x+α(x), 其中α(x)是当x→0时比x高阶的无穷小,且f(x)在x=1处可导,求曲线y=f(x)在点(6,f(6))处的切线方程。
已知f(x)是周期为5的连续函数,它在x=0的某个邻域内满足关系式 f(1+sinx)-3f(1-sinx)=8x+α(x), 其中α(x)是当x→0时比x高阶的无穷小,且f(x)在x=1处可导,求曲线y=f(x)在点(6,f(6))处的切线方程。
admin
2019-08-01
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问题
已知f(x)是周期为5的连续函数,它在x=0的某个邻域内满足关系式
f(1+sinx)-3f(1-sinx)=8x+α(x),
其中α(x)是当x→0时比x高阶的无穷小,且f(x)在x=1处可导,求曲线y=f(x)在点(6,f(6))处的切线方程。
选项
答案
将f(1+sinx)-3f(1-sinx)=8x+α(x)两边令x→0取极限,由f(x)的连续性得 f(1)-3f(1)=[*][8x+α(x)]=0[*]-2f(1)=0, 故f(1)=0,又由题设f(x)在x=1处可导,两边同除sinx, [*] 根据导数的定义,得 f’(1)+3f’(1) [*]4f’(1)=8, 所以f’(1)=2,又因f’(6)=f’(5+1)=f’(1),所以f’(6)=2,由点斜式,切线方程为 [y-f(6)]=f’(6)(x-6)。 把f(6)=f(1)=0,f’(6)=2代入得y=2(x-6),即2x-y-12=0。
解析
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考研数学二
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