2. 考研
  3. 设有两个非零矩阵A=[b1，b2，…，an]T，B=[b1，b2，…，bn]T． (1)计算ABT与ATB； (2)求矩阵ABT的秩r(ABT)； (3)设C=E－ABT，其中E为n阶单位矩阵．证明：

设有两个非零矩阵A=[b1，b2，…，an]T，B=[b1，b2，…，bn]T． (1)计算ABT与ATB； (2)求矩阵ABT的秩r(ABT)； (3)设C=E－ABT，其中E为n阶单位矩阵．证明：

admin2019-02-26  44
问题 设有两个非零矩阵A=[b1，b2，…，an]T，B=[b1，b2，…，bn]T．
    (1)计算ABT与ATB；
    (2)求矩阵ABT的秩r(ABT)；
    (3)设C=E－ABT，其中E为n阶单位矩阵．证明：
选项
答案(1)ABT= [*] ATB=a1b1+a2b2+…+anbn． (2)因ABT各行(列)是第1行(列)的倍数，又A，B皆为非零矩阵，故r(ABT)=1． (3)由于CTC=(E－ABT)T(E－ABT)=(E－BAT)(E－ABT)=E－BAT－ABT+ BATABT，故若要求CTC=E－BAT－ABT+BBT，则BATABT－BBT=O，B(ATA－1)BT=O，即 (ATA－1)BBT=0． 因为B≠0，所以BBT≠O．故CTC=E－BAT－ABT+BBT的充要条件是ATA=1．
解析
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考研数学一

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