设有两个非零矩阵A=[b1，b2，…，an]T，B=[b1，b2，…，bn]T． (1)计算ABT与ATB； (2)求矩阵ABT的秩r(ABT)； (3)设C=E－ABT，其中E为n阶单位矩阵．证明：

admin2019-02-26 28

问题设有两个非零矩阵A=[b₁，b₂，…，a_n]^T，B=[b₁，b₂，…，b_n]^T．
(1)计算AB^T与A^TB；
(2)求矩阵AB^T的秩r(AB^T)；
(3)设C=E－AB^T，其中E为n阶单位矩阵．证明：

选项

答案(1)AB^T= [*] A^TB=a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n． (2)因AB^T各行(列)是第1行(列)的倍数，又A，B皆为非零矩阵，故r(AB^T)=1． (3)由于C^TC=(E－AB^T)^T(E－AB^T)=(E－BA^T)(E－AB^T)=E－BA^T－AB^T+ BA^TAB^T，故若要求C^TC=E－BA^T－AB^T+BB^T，则BA^TAB^T－BB^T=O，B(A^TA－1)B^T=O，即 (A^TA－1)BB^T=0．因为B≠0，所以BB^T≠O．故C^TC=E－BA^T－AB^T+BB^T的充要条件是A^TA=1．

解析

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