求曲线x=acos3t，y=asin3t绕直线y=x旋转一周所得曲面的面积．

admin2018-11-21 69

问题求曲线x=acos³t，y=asin³t绕直线y=x旋转一周所得曲面的面积．

选项

答案如图3．29，曲线关于y=±x对称，只需考察t∈[*]一段曲线．现在没有现成的公式可用．用微元法导出旋转面的面积公式．任取曲线的小微元，端点坐标为(x(t)，y(t))=(acos³t，asin³t)，它到直线y=x的距离为l(t)=[*]．曲线微元的弧长ds=[*]=3a｜sintcost｜dt，它绕y=x旋转所得曲面微元的面积为dS=2πl(t)ds=2π[*]．3a｜sintcost｜dt，因此整个旋转面的面积为 [*]

解析

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