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  3. 已知二阶微分方程y”+ay’+by=cex有特解y=e—x(1+xe2x)，求此微分方程的通解．

已知二阶微分方程y”+ay’+by=cex有特解y=e—x(1+xe2x)，求此微分方程的通解．

admin2021-08-05  44
问题 已知二阶微分方程y”+ay’+by=cex有特解y=e—x(1+xe2x)，求此微分方程的通解．
选项
答案将所给特解代入方程，得到如下恒等式 (1一a+b)e—x+(2+a)ex+(1+a+b)xex=cex． 比较系数，得[*] 故原方程为y”—y=2ex．对应齐次方程的特征方程r2一1=0有两个互异的根r1=1，r2=一1． 故齐次方程的通解为 Y=C1ex+C0e—x． 由题意知y=e—x(1+xe2x)=e—x+xex为特解，故原方程的通解为 Y=C1ex+(C0+1)e—x+xx=C1ex+C2x+xex，其中C1，C2为任意常数．
解析
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考研数学二

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