已知二阶微分方程y”+ay’+by=cex有特解y=e—x(1+xe2x)，求此微分方程的通解．

admin2021-08-05 48

问题已知二阶微分方程y”+ay’+by=ce^x有特解y=e^—x(1+xe^2x)，求此微分方程的通解．

选项

答案将所给特解代入方程，得到如下恒等式 (1一a+b)e^—x+(2+a)e^x+(1+a+b)xe^x=ce^x．比较系数，得[*] 故原方程为y”—y=2e^x．对应齐次方程的特征方程r²一1=0有两个互异的根r₁=1，r₂=一1．故齐次方程的通解为 Y=C₁e^x+C₀e^—x．由题意知y=e^—x(1+xe^2x)=e^—x+xe^x为特解，故原方程的通解为 Y=C₁e^x+(C₀+1)e^—x+x^x=C₁e^x+C₂^x+xe^x，其中C₁，C₂为任意常数．

解析

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考研数学二

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