设实二次型f(x1，x2，x3)=xTAx经正交变换化成的标准形为f=2y12-y22-y32，A是A的伴随矩阵，且向量α=[1，1，-1]T满足Aα=α，则二次型f(x1，x2，x3)=________．

admin2021-07-27 109

问题设实二次型f(x₁，x₂，x₃)=x^TAx经正交变换化成的标准形为f=2y₁²-y₂²-y₃²，A^*是A的伴随矩阵，且向量α=[1，1，-1]^T满足A^*α=α，则二次型f(x₁，x₂，x₃)=________．

选项

答案2x₁x₂-2x₁x₃-2x₂x₃

解析由于A的特征值为2，-1，-1，所以｜A｜=2×(-1)×(-1)=2．A^*α=α两端左乘A，并利用AA^*=｜A｜E得Aα=2α，这表明α是A的对应于特征值2的特征向量．取α₂=[0，1，1]^T，α₃=[-2，1，-1]^T，则α₁，α₂，α₃两两正交，将它们分别单位化，

所以二次型f(x₁，x₂，x₃)=2x₁₂-2x₁x₃-2x₂x₃．

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