设实二次型f(x1,x2,x3)=xTAx经正交变换化成的标准形为f=2y12-y22-y32,A*是A的伴随矩阵,且向量α=[1,1,-1]T满足A*α=α,则二次型f(x1,x2,x3)=________.

admin2021-07-27  54

问题 设实二次型f(x1,x2,x3)=xTAx经正交变换化成的标准形为f=2y12-y22-y32,A*是A的伴随矩阵,且向量α=[1,1,-1]T满足A*α=α,则二次型f(x1,x2,x3)=________.

选项

答案2x1x2-2x1x3-2x2x3

解析 由于A的特征值为2,-1,-1,所以|A|=2×(-1)×(-1)=2.A*α=α两端左乘A,并利用AA*=|A|E得Aα=2α,这表明α是A的对应于特征值2的特征向量.取α2=[0,1,1]T,α3=[-2,1,-1]T,则α1,α2,α3两两正交,将它们分别单位化,

所以二次型f(x1,x2,x3)=2x12-2x1x3-2x2x3
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