设A是n阶矩阵,满足A2=A,且r(A)=r(0<r≤n),证明: 其中E是r阶单位阵.

admin2017-07-10  30

问题 设A是n阶矩阵,满足A2=A,且r(A)=r(0<r≤n),证明:
   
其中E是r阶单位阵.

选项

答案A2=A,A的特征值的取值为1,0,由A一A2=A(E一A)=O知 r(A)+r(E—A)≤n, r(A)+r(E—A)≥r(A+E一A)=r(E)=n, 故r(A)+r(E一A)=n,r(A)=r,从而r(E一A)=n一r. 对λ=1,(E—A)X=0,因r(E一A)=n—r,故有r个线性无关特征向量,设为ξ1,ξ2,…,ξs; 对λ=0,(0E一A)X=0,即AX=0,因r(A)=r,有n一r个线性无关特征向量,设为ξr+1,ξr+2,…,ξn. 故存在可逆阵 P=[ξ1,ξ2,…,ξn], 使得 P一1AP=[*]

解析
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