2. 考研
  3. 设A为三阶矩阵，方程组AX=0的基础解系为α1，α2，又λ=-2为A的一个特征值。其对应的特征向量为α3，下列向量中是A的特征向量的是( )．

设A为三阶矩阵，方程组AX=0的基础解系为α1，α2，又λ=-2为A的一个特征值。其对应的特征向量为α3，下列向量中是A的特征向量的是( )．

admin2021-11-15  28
问题 设A为三阶矩阵，方程组AX=0的基础解系为α1，α2，又λ=-2为A的一个特征值。其对应的特征向量为α3，下列向量中是A的特征向量的是(          )．
选项 A、α1+α3
B、3α3-α1
C、α1+2α2+3α3
D、2α1－3α2
答案D
解析 因为AX=0有非零解，所以r(A)＜n，故0为矩阵A的特征值，α1，α2为特征值0所对应的线性无关的特征向量，显然特征值0为二重特征值，若α1+α3为属于特征值λ0的特征向量，则有A(α1+α3)=λ0(α1+α3)，注意到A(α1+α3)-0α1-2α3=-2α3，
故-2α3=λ0(α1+α3)或λ0α1+(λ0+2)α3=0，
因为α1，α3线性无关，所以有λ0=0，λ0+2=0，矛盾，故α1+α3不是特征向量，同理可证3α3-α1及α1+2α2+3α3也不是特征向量，显然2α1-3α2为特征值0对应的特征向量，选(D)．
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考研数学二

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