2. 考研
  3. 设A为n阶方阵，且A+E与A—E均可逆，则下列等式中不成立的是( )

设A为n阶方阵，且A+E与A—E均可逆，则下列等式中不成立的是( )

admin2019-05-17  25
问题 设A为n阶方阵，且A+E与A—E均可逆，则下列等式中不成立的是(    )
选项 A、(A+E)2(A—E)=(A—E)(A+E)2。
B、(A+E)－1(A—E)=(A—E)(A+E)－1。
C、(A+E)T(A—E)=(A—E)(A+E)T。
D、(A+E)(A—E)*=(A—E)*(A+E)。
答案C
解析 由A与E可交换可得，A+E与A—E可交换，进而(A+E)2与A—E也可交换，故选项A正确。
显然，(A—E)(A+E)=(A+E)(A—E)。若在等式两边同时左、右乘(A+E)－1，可得
(A+E)－1(A—E)=(A—E)(A+E)－1；若先在等式两边同时左、右乘(A—E)－1，可得(A+E)(A—E)－1=(A—E)－1(A+E)，再在所得的等式两边同时乘以｜A—E｜，即得(A+E)(A—E)*=(A—E)*(A+E)。故选项B，D正确。
事实上，只有当ATA=AAT时，(A+E)T(A—E)=(A—E)(A+E)T才成立。而ATA=AAT不一定成立。例如：取，可见ATA≠AAT。所以选C。
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考研数学二

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