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设A是5×4矩阵,A=(η1,η2,η3,η4),若η1=(1,1,-2,1)T,η2=(0,1,0,1)T是AX=0的基础解系,则A的列向量组的极大线性无关组可以是
设A是5×4矩阵,A=(η1,η2,η3,η4),若η1=(1,1,-2,1)T,η2=(0,1,0,1)T是AX=0的基础解系,则A的列向量组的极大线性无关组可以是
admin
2019-08-12
33
问题
设A是5×4矩阵,A=(η
1
,η
2
,η
3
,η
4
),若η
1
=(1,1,-2,1)
T
,η
2
=(0,1,0,1)
T
是AX=0的基础解系,则A的列向量组的极大线性无关组可以是
选项
A、α
1
,α
3
.
B、α
2
,α
4
.
C、α
2
,α
3
.
D、α
1
,α
2
,α
4
.
答案
C
解析
由Aη
1
=0,知α
1
+α
2
-2α
3
+α
4
=0. ①
由Aη
2
=0,知α
2
+α
4
=0. ②
因为n-r(A)=2,故必有r(A)=2.所以可排除D.
由②知,α
2
,α
4
线性相关.故应排除B.
把②代入①得α
1
-2α
3
=0,即α
1
,α
3
线性相关,排除A.
如果α
2
,α
3
线性相关,则r(α
1
,α
2
,α
3
,α
4
)=r(-2α
3
,α
2
,α
3
,-α
2
)=r(α
2
,α
3
)=1与r(A)=2相矛盾.所以选C.
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