已知A，B，A+B，A-1+B-1均为n阶可逆矩阵，则(A-1+B-1)-1等于 ( )

admin2018-08-22 53

问题已知A，B，A+B，A^-1+B^-1均为n阶可逆矩阵，则(A^-1+B^-1)^-1等于 ( )

选项 A、A+B
B、A^-1+B^-1
C、A(A+B)^-1B
D、(A+B)^-1

答案C

解析方法一验算
(A^-1+B^-1)[A(A+B)^-1B]=(E+B^-1A)(A+B)^-1B；
                           =B^-1(B+A)(A+B)^-1B=B^-1B=E，
故             (A^-1+B^-1)^-1=A(A+B)^-1B．
方法二直接计算
(A^-1+B^-1)^-1=[B^-1(BA^-1+E)]^-1=[B^-1(B+A)A^-1]^-1
               =A(A+B)^-1B．

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