设A，B均为n阶矩阵，A有n个互不相同的特征值．证明：若A的特征向量也是B的特征向量，则AB=BA．

admin2018-08-22 102

问题设A，B均为n阶矩阵，A有n个互不相同的特征值．证明：
若A的特征向量也是B的特征向量，则AB=BA．

选项

答案若p_i(i=1，2，…，n)也是B的特征向量，设对应特征值为μ_i，即 Bp_i=μ_ip_i(i=1，2，…，n)，则有 [*] 从而 P^-1ABP=P^-1AEBP=(P^-1AP)(P^-1BP)=A₁A₂=A₂A₁ =(P^-1BP)(P^-1AP)=P^-1BAP，由此可得 AB=BA．

解析

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